Question

【題目】已知△ABC的外角∠EAC的平分線AD交其外接圓⊙O于點D，連接DB，DC．

（1）如圖1，求證BD＝CD；

（2）如圖2，若AC是⊙O的直徑，sin∠BDC＝，求tan∠DBA的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）tan∠DBA＝．

【解析】

（1）根據圓周角定理可證∠DAC=∠DBC，根據圓內接四邊形的性質可證∠EAD=∠DCB，又已知∠EAD=∠DAC，即∠DCB=∠DBC得證，進而證明即可；

（2）如圖2，連接DO并延長交BC于F，連接OB，根據圓周角定理得到∠ABC=90°，求得sin∠BAC=，設BC=3a，AC=5a，則AB=4a，推出OD是BC的垂直平分線，得到BF=CF=a，根據三角形中位線定理得到OF=AB=2a，求得DF=DO+OF=a+2a=a，根據三角函數的定義即可得到結論．

（1）∵AD是∠EAC的平分線，

∴∠EAD＝∠DAC，

∵∠EAD是圓內接四邊形ABCD的外角，

∴∠EAD＝∠DCB（圓內接四邊形外角等于內對角），

又∵∠DAC＝∠DBC，

∴∠DCB＝∠DBC，

∴DB＝DC；

（2）如圖2，連接DO并延長交BC于F，連接OB，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC＝90°，

∵∠BDC＝∠BAC，sin∠BDC＝，

∴sin∠BAC＝，

設BC＝3a，AC＝5a，則AB＝4a，

∵OB＝OC，BD＝CD，

∴OD是BC的垂直平分線，

∴BF＝CF＝a，

∵AO＝CO，

∴OF是△ABC斜邊的中線，

∴BO＝a，

∵AO＝CO，

∴OF是△ABC的中位線，

∴OF＝AB＝2a，

∴DF＝DO+OF＝a+2a＝a，

∵∠DBA＝∠ACD，OD＝OC，

∴∠ACD＝∠FDC，

∴∠DBA＝∠FDC，

∴tan∠DBA＝tan∠FDC＝＝＝．