Question

2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AE平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)E做直線l∥BC．
（1）判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F，求證：BE=EF；
（3）在（2）的條件下，若DE=4，DF=3，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OE、OB、OC．由題意可證明$\widehat{BE}=\widehat{CE}$，于是得到∠BOE=∠COE，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證明OE⊥BC，于是可證明OE⊥l，故此可證明直線l與⊙O相切；
（2）先由角平分線的定義可知∠ABF=∠CBF，然后再證明∠CBE=∠BAF，于是可得到∠EBF=∠EFB，最后依據(jù)等角對(duì)等邊證明BE=EF即可；
（3）先求得BE的長，然后證明△BED∽△AEB，由相似三角形的性質(zhì)可求得AE的長，于是可得到AF的長．

解答 解：（1）直線l與⊙O相切．
理由：如圖1所示：連接OE、OB、OC．

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∴$\widehat{BE}=\widehat{CE}$．
∴∠BOE=∠COE．
又∵OB=OC，
∴OE⊥BC．
∵l∥BC，
∴OE⊥l．
∴直線l與⊙O相切．
（2）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF．
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF=∠EFB．
∴BE=EF．
（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．
∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，
∴△BED∽△AEB．
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{BE}{AE}$，即$\frac{4}{7}=\frac{7}{AE}$，解得；AE=$\frac{49}{4}$．
∴AF=AE-EF=$\frac{49}{4}$-7=$\frac{21}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、切線的判定，證得∠EBF=∠EFB是解題的關(guān)鍵．