Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，3），B（4，0），P為線段OB（不包括端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AOP沿AP對(duì)折，O的對(duì)稱點(diǎn)記為E．
（1）求PE+PB的長(zhǎng)；
（2）求△BEP周長(zhǎng)的最小值；
（3）過A作AP的垂線交PE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)Q到x軸的距離是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出該距離；如果變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由折疊得到OP=PE，即可得到PE+PB=OB=4；
（2）先由勾股定理求出AB，求出BE，即可；
（3）先判斷出△DAP≌△QAP，得到$\frac{AD}{DQ}$=$\frac{1}{2}$，在判斷出△DAO∽△DQF，即可．

解答 （1）由折疊得OP=PE，
∴PE+PB=OP+PB=OB=4；
（2）由折疊得，AE=AO=3，EP=OP
∵△BEP周長(zhǎng)=EP+PB+EB=OP+PB+EB=OB+EB=4+EB
要使△BEP周長(zhǎng)最小，只要EB最小即可，
∴EB⊥PQ時(shí)，EB最小，
而AE⊥PQ，
∴點(diǎn)E在AB上時(shí)，EB最小．
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，EB=AB-AE=2，
∴△PEB的周長(zhǎng)=EP+PB+EB=OB+BE=6．
（3）點(diǎn)Q到x軸距離不變
如圖，

延長(zhǎng)QA交x軸于點(diǎn)D，作QF⊥x軸于F
∵AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠DAP=90°
∵∠DPA=∠EPA，AP=AP
∴△DAP≌△QAP，
∴AD=AQ
∴$\frac{AD}{DQ}$=$\frac{1}{2}$
∵AO⊥x軸，QF⊥x軸
∴AO∥QF
∴△DAO∽△DQF
∴$\frac{AO}{QF}=\frac{DA}{DQ}$=$\frac{1}{2}$
∴QF=2AO=6
∴點(diǎn)Q到x軸的距離為6，

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判定△DAP≌△QAP．