Question

14．如圖，正方形ABCD的頂點A，B在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，點C，D分別在x軸，y軸的正半軸上，當(dāng)k的值改變時，正方形ABCD的大小也隨之改變．
（1）當(dāng)k=2時，正方形A′B′C′D′的邊長等于$\sqrt{2}$．
（2）當(dāng)變化的正方形ABCD與（1）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時，k的取值范圍是$\frac{2}{9}$＜k＜18．

Answer 1

分析 （1）過點A′作A′E⊥y軸于點E，過點B′作B′F⊥x軸于點F，由正方形的性質(zhì)可得出“A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°”，通過證△A′ED′≌△D′OC′可得出“OD′=EA′，OC′=ED′”，設(shè)OD′=a，OC′=b，由此可表示出點A′的坐標(biāo)，同理可表示出B′的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于a、b的二元二次方程組，解方程組即可得出a、b值，再由勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可知點A′、B′、C′、D′的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線A′B′、C′D′的解析式，設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，2m），點D坐標(biāo)為（0，n），找出兩正方形有重疊部分的臨界點，由點在直線上，即可求出m、n的值，從而得出點A的坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得出k的取值范圍．

解答 解：（1）如圖，過點A′作A′E⊥y軸于點E，過點B′作B′F⊥x軸于點F，則∠A′ED′=90°．

∵四邊形A′B′C′D′為正方形，
∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°，
∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°．
∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°，
∴∠ED′A′=∠OC′D′．
在△A′ED′和△D′OC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ED′A′=∠OC′D′}\\{∠A′ED′=∠D′OC′=90°}\\{A′D′=D′C′}\end{array}\right.$，
∴△A′ED′≌△D′OC′（AAS）．
∴OD′=EA′，OC′=ED′．
同理△B′FC′≌△C′OD′．
設(shè)OD′=a，OC′=b，則EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b，
即點A′（a，a+b），點B′（a+b，b）．
∵點A′、B′在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（a+b）=2}\\{b（a+b）=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$（舍去）．
在Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1，
∴C′D′=$\sqrt{OC{′}^{2}+OD{′}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．
（2）設(shè)直線A′B′解析式為y=k₁x+b₁，直線C′D′解析式為y=k₂x+b₂，
∵點A′（1，2），點B′（2，1），點C′（1，0），點D′（0，1），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2={k}_{1}+_{1}}\\{1=2{k}_{1}+_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{0={k}_{2}+_{2}}\\{1=_{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{_{1}=3}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-1}\\{_{2}=1}\end{array}\right.$．
∴直線A′B′解析式為y=-x+3，直線C′D′解析式為y=-x+1．
設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，2m），點D坐標(biāo)為（0，n）．
當(dāng)A點在直線C′D′上時，有2m=-m+1，解得：m=$\frac{1}{3}$，
此時點A的坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
∴k=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$；
當(dāng)點D在直線A′B′上時，有n=3，
此時點A的坐標(biāo)為（3，6），
∴k=3×6=18．
綜上可知：當(dāng)變化的正方形ABCD與（1）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時，k的取值范圍為$\frac{2}{9}$＜k＜18．
故答案為：$\frac{2}{9}$＜k＜18．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）求出線段OD′、OC′的長度；（2）找出兩正方形有重疊部分的臨界點．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，本題是填空題，降低了難度，解決該題型題目時，結(jié)合點的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出反比例函數(shù)系數(shù)k是關(guān)鍵．