Question

【題目】如圖，以矩形ABCD的邊CD為直徑作⊙O，交矩形的對(duì)角線BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，連接EF．

（1）試判斷EF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（2）若DC=2，EF=，點(diǎn)P是⊙O上不與E、C重合的任意一點(diǎn)，則∠EPC的度數(shù)為 （直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）EF與⊙O相切，證明見(jiàn)解析；（2）600或1200

【解析】（1）直線EF與⊙O相切．理由如下：如圖，連接OE、OF．通過(guò)△EFO≌△CFO（SAS），證得∠FEO=∠FCO=90°，則直線EF與⊙O相切．
（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠EPC+∠D=180°，利用（1）中的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等求得FC=EF=，所以通過(guò)解直角△BCD來(lái)求∠D的度數(shù)即可．

解：（1）直線EF與⊙O相切．理由如下：
如圖，連接OE、OF．

∵OD=OE，
∴∠1=∠D．
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是DC的中點(diǎn)，
∴OF∥BD，
∴∠3=∠D，∠2=∠1，
∴∠2=∠3．
∴在△EFO與△CFO中，

OE=OC，∠2=∠3，OF=OF，

∴△EFO≌△CFO（SAS），
∴∠FEO=∠FCO=90°，
∴直線EF與⊙O相切．

（2）如圖，連接DF．
∵由（1）知，△EFO≌△CFO，
∴FC=EF=．
∴BC=2
在直角△FDC中，tan∠D==，
∴∠D=60°．

當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，
∵點(diǎn)E、P、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠EPC+∠D=180°，
∴∠EPC=120°．
當(dāng)點(diǎn)P在 上時(shí)，

∠EPC=∠D=60°，

故填：60°或120°．
“點(diǎn)睛”本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．