Question

（2010•黃浦區(qū)二模）已知點(diǎn)P是函數(shù)（x＞0）圖象上一點(diǎn)，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交函數(shù)（x＞0）圖象于點(diǎn)M，PB⊥y軸于點(diǎn)B，交函數(shù)（x＞0）圖象于點(diǎn)N．（點(diǎn)M、N不重合）
（1）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求△PMN的面積；
（2）證明：MN∥AB；
（3）試問：△OMN能否為直角三角形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用題中已知條件求出M和N的坐標(biāo)，然后求出△PMN的面積；
（2）利用相似三角形，通過證明PM，PB和PN，PA相對(duì)成比例可證明△PAB∽△PMN．
（3）連接三個(gè)點(diǎn)，分別取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，求出不同情況下是否滿足題目要求．
解答：解：（1）∵點(diǎn)P是函數(shù)（x＞0）圖象上一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)P為（2，1），（1分）
由題意可得：M為（2，），N為（1，1）（2分）
∴；（1分）

（2）令點(diǎn)P為（2a，a），（a＞0）（1分）
則，
∴，（1分）
即（1分）
∴MN∥AB；（1分）

（3）由（2）得，，
易知∠MON≠90°，
∴當(dāng)∠ONM=90°時(shí)，
有，
解得（舍去），即點(diǎn)P為，（2分）
同理當(dāng)∠OMN=90°時(shí)，點(diǎn)P為．（2分）
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P為與時(shí)，能使△OMN為直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)于一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的掌握．