【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AC,BC上的點(diǎn),且滿足DE⊥EF,垂足為點(diǎn)E,連接DF.
(1)求∠EDF= (填度數(shù));
(2)延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)G,連接FG,如圖2,猜想AG,GF,FC三者的數(shù)量關(guān)系,并給出證明;
(3)①若AB=6,G是AB的中點(diǎn),求△BFG的面積;
②設(shè)AG=a,CF=b,△BFG的面積記為S,試確定S與a,b的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)45°;(2)GF=AG+CF,證明見(jiàn)解析;(3)①6; ②,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)如圖1中,連接BE.利用全等三角形的性質(zhì)證明EB=ED,再利用等角對(duì)等邊證明EB=EF即可解決問(wèn)題.
(2)猜想:GF=AG+CF.如圖2中,將△CDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°,得△ADH,證明△GDH≌△GDF(SAS)即可解決問(wèn)題.
(3)①設(shè)CF=x,則AH=x,BF=6-x,GF=3+x,利用勾股定理構(gòu)建方程求出x即可.
②設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,利用勾股定理構(gòu)建關(guān)系式,利用整體代入的思想解決問(wèn)題即可.
解:(1)如圖1中,連接BE.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴CD=CB,∠ECD=∠ECB=45°,
∵EC=EC,
∴△ECB≌△ECD(SAS),
∴EB=ED,∠EBC=∠EDC,
∵∠DEF=∠DCF=90°,
∴∠EFC+∠EDC=180°,
∵∠EFB+∠EFC=180°,
∴∠EFB=∠EDC,
∴∠EBF=∠EFB,
∴EB=EF,
∴DE=EF,
∵∠DEF=90°,
∴∠EDF=45°
故答案為45°.
(2)猜想:GF=AG+CF.
如圖2中,將△CDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°,得△ADH,
∴∠CDF=∠ADH,DF=DH,CF=AH,∠DAH=∠DCF=90°,
∵∠DAC=90°,
∴∠DAC+∠DAH=180°,
∴H、A、G三點(diǎn)共線,
∴GH=AG+AH=AG+CF,
∵∠EDF=45°,
∴∠CDF+∠ADG=45°,
∴∠ADH+∠ADG=45°
∴∠GDH=∠EDF=45°
又∵DG=DG
∴△GDH≌△GDF(SAS)
∴GH=GF,
∴GF=AG+CF.
(3)①設(shè)CF=x,則AH=x,BF=6-x,GF=3+x,
則有(3+x)2=(6-x)2+32,
解得x=2
∴S△BFG=BFBG=6.
②設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,
∵AG=a,CF=b,
∴BF=x-b,BG=x-a,GF=a+b,
則有(x-a)2+(x-b)2=(a+b)2,
化簡(jiǎn)得到:x2-ax-bx=ab,
∴S=(x-a)(x-b)=(x2-ax-bx+ab)=×2ab=ab.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】菱形ABCD中, ,其周長(zhǎng)為32,則菱形面積為____________.
【答案】
【解析】分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)易得AB=BC=CD=DA=8,AC⊥BD, OA=OC,OB=OD,再判定△ABD為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BD=8,從而得OB=4,在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理可得OA=4,繼而求得AC=2AO=,再由菱形的面積公式即可求得菱形ABCD的面積.
詳解:∵菱形ABCD中,其周長(zhǎng)為32,
∴AB=BC=CD=DA=8,AC⊥BD, OA=OC,OB=OD,
∵,
∴△ABD為等邊三角形,
∴AB=BD=8,
∴OB=4,
在Rt△AOB中,OB=4,AB=8,
根據(jù)勾股定理可得OA=4,
∴AC=2AO=,
∴菱形ABCD的面積為: =.
點(diǎn)睛:本題考查了菱形性質(zhì):1.菱形的四個(gè)邊都相等;2.菱形對(duì)角線相互垂直平分,并且每一組對(duì)角線平分一組對(duì)角;3.菱形面積公式=對(duì)角線乘積的一半.
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】如圖,在△ABC中, , AC=BC=3, 將△ABC折疊,使點(diǎn)A落在BC 邊上的點(diǎn)D處,EF為折痕,若AE=2,則的值為_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的面積為16cm2,對(duì)交線交于點(diǎn)O;以AB、AO為鄰邊作平行四邊AOC1B,對(duì)角線交于點(diǎn)O1,以AB、AO1為鄰邊作平行四邊形AO1C2B,…;依此類推,則平行四邊形AO4C5B的面積為( )
A. cm2 B. 1cm2 C. 2cm2 D. 4cm2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某農(nóng)科所對(duì)甲、乙兩種小麥各選用10塊面積相同的試驗(yàn)田進(jìn)行種植試驗(yàn),它們的平均畝產(chǎn)量分別是=610千克, =609千克,畝產(chǎn)量的方差分別是=29.6, =2.則關(guān)于兩種小麥推廣種植的合理決策是( )
A. 甲的平均畝產(chǎn)量較高,應(yīng)推廣甲
B. 甲、乙的平均畝產(chǎn)量相差不多,均可推廣
C. 甲的平均畝產(chǎn)量較高,且畝產(chǎn)量比較穩(wěn)定,應(yīng)推廣甲
D. 甲、乙的平均畝產(chǎn)量相差不多,但乙的畝產(chǎn)量比較穩(wěn)定,應(yīng)推廣乙
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣7,點(diǎn)B表示的數(shù)為5,點(diǎn)C到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離相等,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(t>0)秒.
(1)點(diǎn)C表示的數(shù)是 ;
(2)求當(dāng)t等于多少秒時(shí),點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B處;
(3)點(diǎn)P表示的數(shù)是 (用含有t的代數(shù)式表示);
(4)求當(dāng)t等于多少秒時(shí),PC之間的距離為2個(gè)單位長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1所示,已知線段AB=20cm,在AB上取一點(diǎn)P,M是AB的中點(diǎn),N是AP中點(diǎn),若MN=3cm,求線段AP的長(zhǎng);
(2)如圖2所示,∠AOB=∠COD=90°,OC平分∠AOB,∠BOD=3∠DOE.則∠COE是多少度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題8分)如圖,某住宅小區(qū)在施工過(guò)程中留下了一塊空地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,小區(qū)為美化環(huán)境,欲在空地上鋪草坪,已知草坪每平方米100元,試問(wèn)用該草坪鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=3,BC=4.若P為線段AB上任意一點(diǎn),延長(zhǎng)PD到E,使DE=2PD,再以PE、PC為邊作平行四邊形PCQE,求對(duì)角線PQ的最小值為______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,若點(diǎn) A 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為 a,點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為 b,且 a, b 滿足|a+1|+(b-11)=0, 若 P 是線段 AB 上任意一點(diǎn),C、D 兩點(diǎn)分別從點(diǎn)P、B 開(kāi)始出發(fā),同時(shí)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),如果點(diǎn) C 的運(yùn)動(dòng)速度為2 cm/s,點(diǎn) D 的運(yùn)動(dòng)速度為 3 cm/s,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s .
(1)求線段 AB 的長(zhǎng);
(2)若 AP=8cm,
①當(dāng) C、D 兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 1 s 后,求線段 CD 的長(zhǎng);
②當(dāng) C、D 兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng) t s 后,且點(diǎn) D 在線段 PB 上時(shí),用含t 的代數(shù)式表示線段 AC、CD 的長(zhǎng),并說(shuō)明AC 與 CD 的數(shù)量關(guān)系.
(3)如果 t=2 s,CD=1 cm,試探索線段 AP 的長(zhǎng).
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