【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+cx軸交于A-10)、B4,0)兩點,與y軸交于點C02),

1)求拋物線的函數(shù)表達式;

2)如圖,在拋物線對稱軸上取兩個點G、HGH的上方),且滿足GH=1,連接CG,AH,求四邊形CGHA的周長的最小值;

3)如圖,點P是拋物線第一象限的一個動點,過點PPQx軸于點Q,交BC于點D,PEBC于點E,設(shè)PDE的面積為S,求當S取得最大值時點P的坐標,并求S的最大值.

【答案】12++1.(3)點P的坐標為(2,3)時,S取最大值,最大值為

【解析】

1)由點A,B,C的坐標,利用待定系數(shù)法可求出拋物線的函數(shù)表達式;

2)將拋物線的函數(shù)表達式變形為頂點式,可得出拋物線的對稱軸,在y軸上截取CC′=GH(點C′在點C的下方),連接BC′交拋物線對稱軸于點H,此時四邊形CGHA的周長取最小值,由點C的坐標結(jié)合GH=1可得出點C′的坐標,由點A,C,BC′的坐標利用勾股定理可求出AC,BC′的長度,將其代入四邊形CGHA的周長的最小值=AC+BC′+GH中,即可求出結(jié)論;

3)由點BC的坐標,利用待定系數(shù)法可求出直線BC的函數(shù)表達式,設(shè)點P的坐標為(m,-m2+m+2)(0m4),則點D的坐標為(m,-m+2),進而可得出PD的長度,由PEBC,PQx軸及∠PDE=BDQ可得出∠DPE=DBQ,結(jié)合tanDPE=可得出PE=2DE,PD=DE,再利用三角形的面積公式可得出S=PD2,由PD=-m2+2m,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出PD的最大值,代入S=PD2中即可求出S的最大值.

1)將A-1,0),B4,0),C0,2)代入y=ax2+bx+c,得:

,解得:,

∴拋物線的函數(shù)表達式為y=-x2+x+2

2)∵y=-x2+x+2=-x-2+,

∴拋物線的對稱軸為直線x=

如圖2,在y軸上截取CC′=GH(點C′在點C的下方),連接BC′交拋物線對稱軸于點H

CC′GH,

∴四邊形CC′HG為平行四邊形,

C′H=CG

又∵點A,B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,

BH=AH

AH+CG=BH+C′H=BC′,即此時四邊形CGHA的周長取最小值.

∵點C的坐標為(02),GH=1

∴點C′的坐標為(0,1).

∵點A的坐標為(-10),點B的坐標為(4,0),

AC==,BC′==

∴四邊形CGHA的周長的最小值=AC+BC′+GH=++1

3)設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為y=kx+dk≠0),

B40),C0,2)代入y=kx+d,得:

,解得:

∴直線BC的函數(shù)表達式為y=-x+2

設(shè)點P的坐標為(m,-m2+m+2)(0m4),則點D的坐標為(m,-m+2),

PD=-m2+m+2--m+2=-m2+2m

PEBC,PQx軸,

∴∠PED=BQD=90°

∵∠PDE=BDQ,

∴∠DPE=DBQ,

tanDPE=

PE=2DE,PD=DE

S=DEPE=×PD×PD=PD2

∵在PD=-m2+2m=-m-22+2中,-0,

∴當m=2時,PD取最大值,最大值為2,

∴當點P的坐標為(2,3)時,S取最大值,最大值為

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