Question

【題目】已知，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，AB=EF=6，如圖1，D是斜邊AB的中點(diǎn)，將等腰Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<90°），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線DE，AC相交于點(diǎn)M，直線DF，BC相交于點(diǎn)N．

（1）如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，求證：DM=BN；

（2）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的值是一個(gè)定值嗎？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出圖形并加以證明；

（3）如圖3，在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)C落在斜邊EF上時(shí)，求兩個(gè)三角形重合部分四邊形CMDN的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），是一個(gè)定值；（3）

【解析】

（1）利用ASA證，從而得出；

（2）如下圖，先證，得出，然后在，利用tan∠B得出的值，最后得出的值；

（3）如下圖，先證點(diǎn)C是EF的中點(diǎn)，然后利用平分可推導(dǎo)出四邊形為正方形，從而得出，進(jìn)而得出面積．

解：（1）由題意，∵，，∴，

∴，，

∵點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，∴，

∴，∴．

（2），是一個(gè)定值．

證明：如圖1，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，

又∵，∴，

∴，∴，

在中，，∴tan∠B

又由（1）可知：，

∴，

∴．

（3）連接，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，

∵，∴，∵，∴是中點(diǎn)，

∴平分，，

∵，，∴，

∵，

∴四邊形為正方形，，

∴，∴，

∴四邊形正方形．