Question

【題目】如圖, 在.

(1)用尺規(guī)作圖方法，按要求作圖:

①作的高;

②作的平分線，分別交于點;

(要求:保留作圖痕跡，不寫作法和證明)

(2)求證:點在的垂直平分線.上; .

(3)在(1)所作的圖中，探究線段AE與BF的數(shù)量關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）證明見解析；（3）AE=2BF，證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)過已知直線外一點垂線的步驟作圖；

（2）根據(jù)作角平分線的步驟作圖；

（3）根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，證明DA=DB即可；

（4）通過證△ADE≌△BDC得出AE=BC,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BC=2BF即可得出結論.

（1）①如圖1，以B為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于M;以C、M分別為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于點P；作射線BP交AC于D,線段BD就是要求作的△ABC的高；

② 如圖1，以A為圓心，以任意長為半徑畫弧，交AB,AC于G,H；以G,H分別為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于N點；作射線AN，交BC于F點，射線AF就是所要求作的∠BAC的平分線；

（2）∵∠BAC=45°，∠ADB=90°，

∴ ∠ABD=∠BAC=45°.

∴ DA=DB，

∴ 點D在AB的垂直平分線上.

…

（3）∵ AB=AC，AF是∠BAC的角平分線，

∴ BC=2BF，AF⊥BC.

∴ ∠DAF+∠C=90°．

∵ ∠DBC+∠C=90°，

∴ ∠DAE=∠DBC.

又 ∵ DA=DB，∠ADE=∠BDC=90°，

∴ △ADE≌△BDC （ASA）.

∴ AE=BC，

∴ AE=2BF.