Question

【題目】如圖1，點B，C分別是∠MAN的邊AM、AN上的點，滿足AB＝BC，點P為射線的AB上的動點，點D為點B關于直線AC的對稱點，連接PD交AC于E點，交BC于點F。

(1)在圖1中補全圖形；

(2)求證：∠ABE＝∠EFC；

(3)當點P運動到滿足PD⊥BE的位置時，在射線AC上取點Q，使得AE＝EQ，此時是否是一個定值，若是請直接寫出該定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）是定值，

【解析】

（1）根據(jù)題意補全圖形即可；

（2）連接BE，根據(jù)垂直平分線的性質可等量代換即可得出答案；

（3）是定值，根據(jù)已知條件可判斷是等腰直角三角形，設設，求解即可．

解：（1）補全圖形，如下圖：

（2）連接BE，

∵B、D關于AC對稱，且AB=BC

∴BD垂直平分AC

∴

∴

即∠ABE＝∠EFC；

（3），理由如下：

如下圖，

根據(jù)題意可知，

∴

∴是等腰直角三角形

設

則，

∴

根據(jù)勾股定理可得：

∴．