Question

【題目】觀察如圖所示的圖形，回答下列問題：

(1) 圖中的點(diǎn)被線段隔開分成四層，第一層有1個(gè)點(diǎn)，第二層有3個(gè)點(diǎn)，第三層有5個(gè)點(diǎn)，第四層有___________個(gè)點(diǎn)；

(2) 如果要你繼續(xù)畫下去，那么第五層有________點(diǎn)， 第10層有_________點(diǎn)；

(3) 某一層上有77個(gè)點(diǎn)，你可知道這是第_________層；

(4) 第一層與第二層的和是__________，前三層的和是_________，前四層和為____________，

你有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

根據(jù)你的推測(cè)，前一百層的和是___________.

Answer 1

【答案】 7 9 19 39 4 9 16 10000

【解析】

（1）由圖中信息可知第4層有7個(gè)點(diǎn)；

（2）觀察圖形中各層點(diǎn)的個(gè)數(shù)可知，從第一層到第n層點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次是從1開始的連續(xù)奇數(shù)1、3、5、……，由此可知第n層的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：(2n-1)個(gè)，從而可計(jì)算出第五層和第十層的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）根據(jù)（2）中所得結(jié)論可得2n-1=77，解此方程即可求得對(duì)應(yīng)的n的值；

（4）由圖中信息可得第一層點(diǎn)的個(gè)數(shù)和第二層點(diǎn)的個(gè)數(shù)的和為4，前三層點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為9，前四層點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為16；由此可得規(guī)律為：前n層的點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為；由此可得前100層的點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為：個(gè).

（1）如圖所示：第四層有7個(gè)點(diǎn)；

（2）∵第一層有1個(gè)點(diǎn)，第二層有3個(gè)點(diǎn)，第三層有5個(gè)點(diǎn)，第四層有7個(gè)點(diǎn)，

∴從第一層到第n層點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次是從1開始的連續(xù)奇數(shù)1、3、5、……，由此可知第n層的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：(2n-1)個(gè)，

∴如果繼續(xù)畫下去，那么第五層有9個(gè)點(diǎn)，第十層有19個(gè)點(diǎn)；

（3）某一層上有77個(gè)點(diǎn)，即：2n-1=77，解得：n=39，
∴這是第三十九層；

（4）∵第一層與第二層點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和是4=22，前三層點(diǎn)的個(gè)數(shù)的和是9=32，前四層點(diǎn)的個(gè)數(shù)的和是16=42，…，

由此可得：前n層的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的和是n2，
∴前一百層的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的和是1002=10000．