Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC上任意一點，連接AE、DE、G₁、G₂、G₃分別為△ABE，△ADE，△DEC的重心，BC=2AD=12，梯形的高為6，則△G₁G₂G₃的面積為

 

．

Answer 1

考點：三角形的重心,梯形

專題：

分析：首先連接AG₁，并延長交BC于點F，連接DG₃，并延長交BC于點K，連接EG₂，并延長交AD于點Q，交G₁G₃于點P，由G₁、G₂、G₃分別為△ABE，△ADE，△DEC的重心，易證得AD∥FK∥G₁G₃，且AD=FK=G₁G₃=6，又由G₂Q=

1

3

EQ，EP：EQ=G₃K：DK=1：3，可求得△G₁G₂G₃的高，繼而求得△G₁G₂G₃的面積．

解答：解：連接AG₁，并延長交BC于點F，連接DG₃，并延長交BC于點K，連接EG₂，并延長交AD于點Q，交G₁G₃于點P，
∵G₁、G₂、G₃分別為△ABE，△ADE，△DEC的重心，
∴AD∥FK∥G₁G₃，EF=

1

2

BE，CK=

1

2

EC，
∴FK=BE+EC=

1

2

BE+

1

2

EC=

1

2

BC，
∵BC=2AD=12，
∴FK=AD，
∴四邊形AFKD是平行四邊形，
∴AD=FK=G₁G₃=6，
∵G₂Q=

1

3

EQ，EP：EQ=G₃K：DK=1：3，
即EP=

1

3

EQ，
∴G₂P=

1

3

EQ，
∵梯形的高為6，
∴△G₁G₂G₃的高為：

1

3

×6=2，
∴△G₁G₂G₃的面積為：

1

2

×6×2=6．
故答案為：6．

點評：此題考查了三角形重心的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)與判定．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．