Question

若關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-2mx+1的圖象與端點(diǎn)在（-1，1）和（3，4）的線段只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值可能是（　　）

• A、

  5

  2

• B、-

  1

  3

• C、

  1

  2

• D、

  1

  3

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：探究型

分析：由于二次函數(shù)y=x²-2mx+1的圖象開口向上且過（0，1），與端點(diǎn)在（-1，1）和（3，4）的線段只有一個(gè)交點(diǎn)，則與過（-1，1）和（3，4）直線有兩個(gè)交點(diǎn)，求出直線解析式，進(jìn)而得出x²-（2m+

3

4

）x-

3

4

=0在[-1，3]上有且僅有一個(gè)解，則f（x）=x²-（2m+

3

4

）x-

3

4

，可以得出：f（-1）×f（3）≤0，然后解關(guān)于m的不等式．

解答：解：∵設(shè)直線AB過點(diǎn)（-1，1）和（3，4），
∴設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，將兩點(diǎn)代入解析式得：

-k+b=1 3k+b=4

，
解得：

k= 3 4 b= 7 4

故AB直線方程為：y=

3

4

x+

7

4

，
根據(jù)y=

3

4

x+

7

4

與y=x²-2mx+1在x=[-1，3]上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
即

3

4

x+

7

4

=x²-2mx+1，
故x²-（2m+

3

4

）x-

3

4

=0在[-1，3]上有且僅有一個(gè)解，
f（x）=x²-（2m+

3

4

）x-

3

4

，可以得出：f（-1）×f（3）≤0
則[1+2m]×[9-3（2m+

3

4

）-

3

4

]≤0
（1+2m）（-6m+6）≤0
即（1+2m）（6m-6）≥0，
即

1+2m≥0 6m-6≥0

或

1+2m≤0 6m-6≤0

，
解得：m≥1或m≤-

1

2

．
只有

5

2

在這個(gè)范圍內(nèi)，
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）=x²-（2m+

3

4

）x-

3

4

在區(qū)間[-1，3]上的值域是解決此題的關(guān)鍵．