Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，其頂點的坐標為為拋物線上軸下方一點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若，求點的坐標；

（3）若直線與拋物線交于兩點，問：是否存在的值，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由于已知拋物線頂點坐標，故可設頂點式，再把點B坐標代入求得a，即求得拋物線解析式；

（2）先根據(jù)拋物線解析式求出A、C坐標．由∠PCB=∠ACB和∠ABC=45°聯(lián)想到構造△ABC的全等三角形，過點作交延長線于點，構造角邊角得到的△ABC≌△MBC，進而求得點M坐標．求直線CM解析式，把直線CM與拋物線解析式聯(lián)立方程組，求得的其中一解即為點P坐標；

（3）假設存在的值，使直線與(1)中所求的拋物線交于、，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出，根據(jù)OM2+ON2=MN2，整理后把x1+x2和x1·x2的值代入即可求出a的值.

(1)設拋物線解析式為y=a(x-1)2-4，把B（3,0）代入得，

；

(2)過點作交延長線于點，

∵y=0時，x2-2x-3=0，

解得：x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），AB=3-（-1）=4，

∵x=0時，y=x2-2x-3=-3，

∴C（0，-3），

∴OB=OC=3，

∴∠OCB=∠OBC=45°.

∵OC∥BM，

∴∠MBC=∠OCB=∠OBC=45°，

在△ABC與△MBC中，

，

∴△ABC≌△MBC（ASA）

，

，

設CM解析式為y=kx+b，

把C（0，-3），代入，得

，

∴，

，

由，得或（舍），

；

(3)假設存在的值，使直線與(1)中所求的拋物線交于、，

兩點(在的左側)，使得，

由得，

，

又，

，

，

，

即，

，

存在使得.