【題目】如圖,過(guò)線段AB的端點(diǎn)B作射線BG⊥AB,P為射線BG上一點(diǎn),以AP為邊作正方形APCD,且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè),在線段DP上取一點(diǎn)E,使∠EAP=∠BAP,直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合).
(1)求證:≌;
(2)判斷CF與AB的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)試探究AE+EF+AF與2AB是否相等,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)CF⊥AB,見(jiàn)解析;(3)AE+EF+AF=2AB,見(jiàn)解析
【解析】
(1)四邊形APCD正方形,則DP平分∠APC,PC=PA,∠APD=∠CPD=45°,即可求解;
(2)△AEP≌△CEP,則∠EAP=∠ECP,而∠EAP=∠BAP,則∠BAP=∠FCP,令CF與線段AP交于點(diǎn)M,則∠FCP+∠CMP=90°,則∠AMF+∠PAB=90°即可求解;
(3)證明△PCN≌△APB(AAS),則CN=PB=BF,PN=AB,即可求解.
解:(1)證明:∵四邊形APCD正方形,
∴DP平分∠APC,PC=PA,
∴∠APD=∠CPD=45°,
∵PE=PE,
∴△AEP≌△CEP(SAS);
(2)CF⊥AB,理由如下:
∵△AEP≌△CEP,
∴∠EAP=∠ECP,
∵∠EAP=∠BAP,
∴∠BAP=∠FCP,
令CF與線段AP交于點(diǎn)M,
∵∠FCP+∠CMP=90°,∠AMF=∠CMP,
∴∠AMF+∠PAB=90°,
∴∠AFM=90°,
∴CF⊥AB;
(3)過(guò)點(diǎn)C作CN⊥PB.
∵CF⊥AB,BG⊥AB,
∴FC∥BN,
∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB,
又AP=CP,
∴△PCN≌△APB(AAS),
∴CN=PB=BF,PN=AB,
∵△AEP≌△CEP,
∴AE=CE,
∴AE+EF+AF=CE+EF+AF
=BN+AF
=PN+PB+AF
=AB+CN+AF
=AB+BF+AF
=2AB,
即AE+EF+AF=2AB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)是函數(shù)上的一點(diǎn),若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則的面積為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)在上,點(diǎn)為弦的中點(diǎn),射線與圓周及切線分別交于點(diǎn)和點(diǎn),連接.
(1)求證:直線是的切線;
(2)若直徑,填空:①連接,當(dāng)_________時(shí),四邊形是菱形;
②當(dāng)________時(shí),四邊形是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解今年初三學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況,某校在第一輪模擬測(cè)試后,對(duì)初三全體同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)作了統(tǒng)計(jì)分析,繪制如下圖表:請(qǐng)結(jié)合圖表所給出的信息解答系列問(wèn)題:
(1)該校初三學(xué)生共有多少人?
(2)求表中a,b,c的值,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)初三(一)班數(shù)學(xué)老師準(zhǔn)備從成績(jī)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中任意抽取兩名同學(xué)做學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)智能機(jī)器人接到的指令是:從原點(diǎn)O出發(fā),按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不斷移動(dòng),每次移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度,其移動(dòng)路程如圖所示,第一次移動(dòng)到點(diǎn)A1,第二次移動(dòng)到點(diǎn)A2,第n次移動(dòng)到點(diǎn)An,則點(diǎn)A2020的坐標(biāo)是( )
A.(1010,0)B.(1010,1)C.(1009,0)D.(1009,1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解九年級(jí)的600名學(xué)生每天的自主學(xué)習(xí)情況,隨機(jī)抽查了九年級(jí)的部分學(xué)生,并調(diào)查他們每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,制作了兩副不完整的統(tǒng)計(jì)圖(圖1圖2),請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息回答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是 人;
(2)圖2中角是 度;
(3)將圖1條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(4)估算該校九年級(jí)學(xué)生自主學(xué)習(xí)不少于1.5小時(shí)有多少人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著,與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一問(wèn)題“今有圓材埋在壁中,不知大。凿忎徶,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問(wèn)徑幾何?”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意,畫(huà)出圓材截面圖如圖所示,已知:鋸口深為 1寸,鋸道AB=1尺(1尺=10寸),則該圓材的直徑為( )
A.13B.24C.26D.28
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線l:y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),拋物線y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi),連接AM、BM,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,△ABM的面積為S,求S與m的函數(shù)表達(dá)式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取得最大值時(shí),動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′.
①寫(xiě)出點(diǎn)M′的坐標(biāo);
②將直線l繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到直線l′,當(dāng)直線l′與直線AM′重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直線l′與線段BM′交于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2,當(dāng)d1+d2最大時(shí),求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度(即∠BAC的度數(shù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解某校九年級(jí)男生1000米跑的水平,從中隨機(jī)抽取部分男生進(jìn)行測(cè)試,并把測(cè)試成績(jī)分為D、C、B、A四個(gè)等次繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你依圖解答下列問(wèn)題:
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示C等次的扇形所對(duì)的圓心角的度數(shù)為 度;
(3)學(xué)校決定從A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,隨機(jī)選取兩名男生參加全市中學(xué)生1000米跑比賽,請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法,求甲、乙兩名男生同時(shí)被選中的概率.
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