Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與、軸分別交于、兩點.點為線段的中點．過點作直線軸于點．

（1）直接寫出的坐標；

（2）如圖1，點是直線上的動點，連接、，線段在直線上運動，記為，點是軸上的動點，連接點、，當取最大時，求的最小值；

（3）如圖2，在軸正半軸取點，使得，以為直角邊在軸右側(cè)作直角，，且，作的角平分線，將沿射線方向平移，點、，平移后的對應(yīng)點分別記作、、，當的點恰好落在射線上時，連接，，將繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得，在直線上是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）存在，或

【解析】

（1）求出B，C兩點坐標，利用中點坐標公式計算即可． （2）如圖1中，作點B關(guān)于直線m的對稱點，連接CB′，延長CB′交直線m于點P，此時PC-PB的值最大．求出直線CB′的解析式可得點P坐標，作PT∥BC，且PT=CD=5，作TE⊥AC于E，交BC于C′，此時PD′+D′C′+C′E的值最小． （3）如圖2中，由題意易知，，．分兩種情形：①當時，設(shè)．②當時，分別構(gòu)建方程即可解決問題．

解：（1）∵直線與軸分別交于C、B兩點，

∴B（0，6），C（-8，0），

∵CD=DB， ∴D（-4，3）．

（2）如圖1中，作點B關(guān)于直線m的對稱點B′（-4，6），連接CB′，延長CB′交直線m于點P，此時PC-PB的值最大．

∵C（-8，0），B′（-4，6），

∴直線CB′的解析式為， ∴P（-2，9），

作PT∥BC，且PT=CD=5，作TE⊥AC于E，交BC于C′，

此時PD′+D′C′+C′E的值最�。�

由題意點P向左平移4個單位，向下平移3個單位得到T，

∴T（-6，6）， ∴PD′+D′C′+C′E=TC′+PT+C′E=PT+TE=5+6=11．

∴PD′+D′C′+C′E的最小值為11．

（3）如圖2中，延長交BK′于J，設(shè)BK′交OC于R．

∵B′S′=BS=4，S′K′=SK=，BK′平分∠CBO，

所以，所以OR=3，tan∠OBR= ，

∵∠S′JK′=∠OBR=∠RBC， ∴tan∠S′JK′==，

∴，∵， ∴，所以為的中點，

， ∴，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，．

①當時，設(shè)，

，

解得， 所以．

②當時，同理則有，

整理得：， 解得 ，

所以，

又因為，，所以直線為，

此時在直線上，此時三角形不存在，故舍去．

綜上所述，滿足條件的點N的坐標為或．