【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與、軸分別交于、兩點.點為線段的中點.過點作直線軸于點.
(1)直接寫出的坐標;
(2)如圖1,點是直線上的動點,連接、,線段在直線上運動,記為,點是軸上的動點,連接點、,當取最大時,求的最小值;
(3)如圖2,在軸正半軸取點,使得,以為直角邊在軸右側(cè)作直角,,且,作的角平分線,將沿射線方向平移,點、,平移后的對應(yīng)點分別記作、、,當的點恰好落在射線上時,連接,,將繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得,在直線上是否存在點,使得為等腰三角形?若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1),(2),(3)存在,或
【解析】
(1)求出B,C兩點坐標,利用中點坐標公式計算即可. (2)如圖1中,作點B關(guān)于直線m的對稱點,連接CB′,延長CB′交直線m于點P,此時PC-PB的值最大.求出直線CB′的解析式可得點P坐標,作PT∥BC,且PT=CD=5,作TE⊥AC于E,交BC于C′,此時PD′+D′C′+C′E的值最。 (3)如圖2中,由題意易知,,.分兩種情形:①當時,設(shè).②當時,分別構(gòu)建方程即可解決問題.
解:(1)∵直線與軸分別交于C、B兩點,
∴B(0,6),C(-8,0),
∵CD=DB, ∴D(-4,3).
(2)如圖1中,作點B關(guān)于直線m的對稱點B′(-4,6),連接CB′,延長CB′交直線m于點P,此時PC-PB的值最大.
∵C(-8,0),B′(-4,6),
∴直線CB′的解析式為, ∴P(-2,9),
作PT∥BC,且PT=CD=5,作TE⊥AC于E,交BC于C′,
此時PD′+D′C′+C′E的值最。
由題意點P向左平移4個單位,向下平移3個單位得到T,
∴T(-6,6), ∴PD′+D′C′+C′E=TC′+PT+C′E=PT+TE=5+6=11.
∴PD′+D′C′+C′E的最小值為11.
(3)如圖2中,延長交BK′于J,設(shè)BK′交OC于
∵B′S′=BS=4,S′K′=SK=,BK′平分∠CBO,
所以,所以OR=3,tan∠OBR= ,
∵∠S′JK′=∠OBR=∠RBC, ∴tan∠S′JK′==,
∴,∵, ∴,所以為的中點,
, ∴,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:,.
①當時,設(shè),
,
解得, 所以.
②當時,同理則有,
整理得:, 解得 ,
所以,
又因為,,所以直線為,
此時在直線上,此時三角形不存在,故舍去.
綜上所述,滿足條件的點N的坐標為或.
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【題目】如圖,在中,,,,點從點出發(fā)沿方向以的速度向點勻速運動,同時點從點出發(fā)沿方向以的速度向點勻速運動,當其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動.設(shè)點運動的時間是秒.過點作于點,連接.
(1)求證:;
(2)四邊形能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的值,如果不能,說明理由:
(3)當為何值時,為直角三角形?請說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知△ABC三個頂點的坐標分別是A(2,2),B(3,0),C(1,﹣1),AC交x軸于點P.
(1)∠ACB的度數(shù)為_____;
(2)P點坐標為______;
(3)以點O為位似中心,將△ABC放大為原來的2倍,請在圖中畫出所有符合條件的三角形.
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【題目】某學校將開啟“大閱讀”活動,為了充實書吧藏書,學生會號召全年級學生捐書,得到各班的大力支持.同時,年級部分備課組的老師也購買藏書充實到年級書吧,其中數(shù)學組購買了甲、乙兩種自然科學書籍若干本,用去699元;語文組購買了A、B兩種文學書籍若干本,用去6138元,已知A、B的數(shù)量分別與甲、乙的數(shù)量相等,且甲種書與B種書的單價相同,乙種書與A種書的單價相同,若甲種書的單價比乙種書的單價多7元,則乙種書籍比甲種書籍多買了_____本.
.
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【題目】在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交AC于點E,交BC于點D,P為AC延長線上一點,且∠PBC=∠BAC,連接DE,BE.
(1)求證:BP是⊙O的切線;
(2)若sin∠PBC=,AB=10,求BP的長.
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【題目】某校舉行了“文明在我身邊”攝影比賽,已知每幅參賽作品成績記為x分(60≤x≤100).校方從600幅參賽作品中隨機抽取了部分步賽作品,統(tǒng)計了它們的成績,并繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表.
“文明在我身邊”攝影比賽成績統(tǒng)計表
分數(shù)段 | 頻數(shù) | 頻率 |
60≤x<70 | 18 | 0.36 |
70≤x<80 | 17 | c |
80≤x<90 | a | 0.24 |
90≤x≤100 | b | 0.06 |
合計 | 1 |
根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)統(tǒng)計表中a= ,b= ,c= .
(2)補全數(shù)分布直方圖;
(3)若80分以上的作品將被組織展評,試估計全校被展評作品數(shù)量是多少?
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【題目】如圖,點D是△ABC的邊AB上一點,點E為AC的中點,過點C作CF∥AB交DE延長線于點F.
(1)求證:AD=CF.
(2)連接AF,CD,求證:四邊形ADCF為平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AD是邊BC上的中線,過點A作AE∥BC,過點D作DE∥AB,DE與AC、AE分別交于點O、點E,聯(lián)結(jié)EC.
(1)求證:四邊形ADCE是平行四邊形;
(2)當∠BAC=90°時,求證:四邊形ADCE是菱形.
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