Question

（1997•吉林）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a，b是關(guān)于x的一元二次方程x²-（c+4）x+4c+8=0的二根，且9c=25a•sinA．
（1）求證：△ABC是直角三角形．
（2）求△ABC的三邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：a+b=c+4，ab=4c+8，因?yàn)閍²+b²=（c+4）²-2（4c+8）=c²問(wèn)題得證；
（2）在直角三角形ABC中sinA=

a

c

，又因?yàn)?c=25a•sinA，a=

3

5

c，由勾股定理得：b=

4

5

c，把a(bǔ)=

3

5

c，b=

4

5

c代入a+b=c+4得，可求出的值，進(jìn)而求出a和b的值．

解答：（1）證明：
∵a、b是關(guān)于x的一元二次方程x²-（c+4）x+4c+8=0的二根
∴a+b=c+4，ab=4c+8，
∴a²+b²=（c+4）²-2（4c+8）=c²
∴△ABC是直角三角形；
（2）在Rt△ABC中sinA=

a

c

，
∵9c=25a•sinA，
∴25a²=9c²，
∴a=

3

5

c，
由勾股定理得：b=

4

5

c，
把a(bǔ)=

3

5

c，b=

4

5

c代入a+b=c+4得，

7

5

c=c+4，
解得：c=10，
∴a=6．b=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理和逆定理的運(yùn)用，題目設(shè)計(jì)比較新穎．