【題目】旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學問題中一種重要的思想方法,通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起,從而方便解決問題.

已知,△ABC中,ABAC,∠BACα,點D、E在邊BC上,且∠DAEα

1)如圖1,當α60°時,將△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°到△AFB的位置,連接DF,

求∠DAF的度數(shù);

求證:△ADE≌△ADF;

2)如圖2,當α90°時,猜想BD、DECE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

3)如圖3,當α120°,BD4CE5時,請直接寫出DE的長為   

【答案】(1)①30°②見解析(2)BD2+CE2DE23

【解析】

1)①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠FAB=CAE,再用角的和即可得出結(jié)論;②利用SAS判斷出△ADE≌△ADF,即可得出結(jié)論;

2)先判斷出BF=CE,∠ABF=ACB,再判斷出∠DBF=90°,即可得出結(jié)論;

3)同(2)的方法判斷出∠DBF=60°,再用含30度角的直角三角形求出BMFM,最后用勾股定理即可得出結(jié)論.

解:(1)①由旋轉(zhuǎn)得,∠FAB=∠CAE,

∵∠BAD+CAE=∠BAC﹣∠DAE60°30°30°,

∴∠DAF=∠BAD+BAF=∠BAD+CAE30°;

②由旋轉(zhuǎn)知,AFAE,∠BAF=∠CAE,

∴∠BAF+BAD=∠CAE+BAD=∠BAC﹣∠DAE=∠DAE,

在△ADE和△ADF中,,

∴△ADE≌△ADFSAS);

2BD2+CE2DE2

理由:如圖2,將△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB的位置,連接DF,

BFCE,∠ABF=∠ACB,

由(1)知,△ADE≌△ADF,

DEDF

ABAC,∠BAC90°,

∴∠ABC=∠ACB45°

∴∠DBF=∠ABC+ABF=∠ABC+ACB90°,

根據(jù)勾股定理得,BD2+BF2DF2,

即:BD2+CE2DE2;

3)如圖3,將△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB的位置,連接DF,

BFCE,∠ABF=∠ACB,

由(1)知,△ADE≌△ADF

DEDF,BFCE5,

ABAC,∠BAC90°,

∴∠ABC=∠ACB30°,

∴∠DBF=∠ABC+ABF=∠ABC+ACB60°

過點FFMBCM,

RtBMF中,∠BFM90°﹣∠DBF30°,

BF5,

,

BD4,

DMBDBM,

根據(jù)勾股定理得, ,

DEDF

故答案為

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1)求甲、乙兩種書柜的進價;

2)若該校擬購進這兩種規(guī)格的書柜共60個,其中乙種書柜的數(shù)量不大于甲種書柜數(shù)量的2倍.請您幫該校設(shè)計一種購買方案,使得花費最少.

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A.B.C.D.

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A工地

B工地

甲工程隊

800

750

乙工程隊

600

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