【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,以AB為直徑的⊙O交AC邊于點(diǎn)DD,點(diǎn)E在BC上,連結(jié)BD,DE,∠CDE=∠ABD
(1)證明:DE是⊙O的切線;
(2)若BD=24,sin∠CDE=,求圓⊙O的半徑和AC的長.
【答案】(1)見解析;(2)13,
【解析】
(1)連結(jié)OD ,如圖,根據(jù)圓周角定理,由AB為⊙O的直徑得∠ADO+∠ODB=90°,再由OB = OD得∠OBD=∠ODB,則∠ADO+∠ABD=90°,由于∠CDE=∠ABD,所以∠ADO+∠CDE =90°,然后根據(jù)平角的定義得∠ODE=90°,于是可根據(jù)切線的判定定理得到DE是⊙O的切線;
(2)設(shè)=,則=,根據(jù)勾股定理得到,求得圓的半徑為13;連結(jié),如圖,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CO⊥AB,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.
證明:連結(jié),如圖,
∵為的直徑,
∴,即
∵=,
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴是的切線;
∵
∴
在 中,
設(shè)=,則=,
∴,
∴=,解得=,
∴=,
∴圓的半徑為;
連結(jié),如圖,
∵=,=,
∴
∴
在 中,∵
∴
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,為了改造小區(qū)環(huán)境,某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻的最大可使用長度12m)的空地上建造一個矩形綠化帶.除靠墻一邊(AD)外,用長為32m的柵欄圍成矩形ABCD.設(shè)綠化帶寬AB為xm,面積為Sm2,
(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出x的取值范圍;
(2)綠化帶的面積能達(dá)到128m2嗎?若能,請求出AB的長度;若不能,請說明理由;
(3)當(dāng)x為何值時,滿足條件的綠化帶面積最大.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD,P為射線AB上的一點(diǎn),以BP為邊作正方形BPEF,使點(diǎn)F在線段CB的延長線上,連接EA、EC.
(1)如圖1,若點(diǎn)P在線段AB的延長線上,求證:EA=EC;
(2)若點(diǎn)P在線段AB上,如圖2,當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時,判斷△ACE的形狀,并說明理由;
(3)在(1)的條件下,將正方形ABCD固定,正方形BPEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周,設(shè)AB=4,BP=a,若在旋轉(zhuǎn)過程中△ACE面積的最小值為4,請直接寫出a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的圖象交x軸于A(-1, 0),B(4, 0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C.動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運(yùn)動,過點(diǎn)M作MN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)D,連接AC.設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)連接BD,當(dāng)時,求△DNB的面積;
(3)在直線MN上存在一點(diǎn)P,當(dāng)△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時,直接寫出此時點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,F(xiàn)O⊥AB,垂足為點(diǎn)O,連接AF并延長交⊙O于點(diǎn)D,連接OD交BC于點(diǎn)E,∠B=30°,F(xiàn)O=2.
(1)求AC的長度;
(2)求圖中陰影部分的面積.(計算結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l:y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn),拋物線y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)經(jīng)過點(diǎn)B.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)M是拋物線上的一個動點(diǎn),并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi),連接AM、BM,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,△ABM的面積為S,求S與m的函數(shù)表達(dá)式,并求出S的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)S取得最大值時,動點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′.寫出點(diǎn)M′的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等邊△ABC的邊長是2,D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使CF=BC,連接CD和EF.
(1)求證:DE=CF;
(2)求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,點(diǎn)E在BC邊上.AE=AB,將線段AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AF的位置.使得∠CAF=∠BAE.連接EF,EF與AC交于點(diǎn)G.
(1)求證:EF =BC;
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度數(shù).
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