Question

【題目】已知y關于x的二次函數y=x-bx+b+b-5的圖象與x軸有兩個公共點．

（1）求b的取值范圍；

（2）若b取滿足條件的最大整數值，當m≤x≤時，函數y的取值范圍是n≤y≤6-2m，求m，n的值；

（3）若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，對應函數y的最小值為，求此時二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）利用即可求解；

（2）根據（1）中的結論確定b的值，進而確定二次函數的表達式，然后根據與對稱軸的位置關系，判斷出函數的單調性，然后代入到二次函數解析式中即可求出m,n的值；

（3）根據與對稱軸的位置關系，分三種情況：①當，②當，取值范圍在對稱軸左側，③當，即時，取值范圍在對稱軸右側，數形結合進行討論即可．

解：（1）由題意知，

即 ，

∴

解得： ；

（2）由題意，b=4，代入得：，

∴對稱軸為直線．

又∵a=1>0，函數圖象開口向上，

∴當時，y隨x的增大而減小，

∴當x=時，，

當x=m時，y=，

解得：（不合題意，舍去）；

∴．

（3） ，函數大致圖象如圖所示．

①當，即時，

函數y在頂點處取得最小值，有b-5=，

∴b=（不合題意，舍去）

②當，即時，

取值范圍在對稱軸左側，y隨x的增大而減小，

∴當x=b+3時，y最小值=，代入得

，

即，

解得：（不合題意，舍去），

∴此時二次函數的解析式為：

③當，即時，取值范圍在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，

∴當x=b時，y最小值=，代入得

，

即，

解得：，

∴此時二次函數的解析式為：．

綜上所述，符合題意的二次函數的解析式為：或