Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 OABC 為菱形，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（4,0），∠AOC = 60°，垂直于 x 軸的直線 l 從 y 軸出發(fā)，沿 x 軸正方向以每秒 1 個單位長度的速度運(yùn)動，設(shè)直線 l 與 菱形 OABC 的兩邊分別交與點(diǎn) M、N（點(diǎn) M 在點(diǎn) N 的上方）．

（1）求 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè) OMN 的面積為 S，直線 l 運(yùn)動時(shí)間為 t 秒（0 ≤t ≤6 ），試求 S 與 t 的函數(shù)表達(dá) 式；

（3）在題（2）的條件下，t 為何值時(shí)，S 的面積最大？最大面積是多少．

Answer 1

【答案】（1）A(2,)，B(6,)；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，；（3）秒時(shí)，．

【解析】

（1）根菱形性質(zhì)得出OA=AB=BC=CO=4，過A作AD⊥OC于D，求出AD、OD，即可得出答案；

（2）依題意可分為三種情況：①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直線l與OA、OC兩邊相交，②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，直線l與AB、OC兩邊相交，③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，直線l與AB、BC兩邊相交，畫出圖形求出即可；

（3）根據(jù)（2）中各函數(shù)的性質(zhì)和各自的自變量的取值范圍可得出S的最大值及對應(yīng)的t的值．

解：（1）∵四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)，

∴

過點(diǎn)A作于D.

∵

∴,

∴A(2,)，B(6,).

（2）∵，

∴，

直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：

①當(dāng)時(shí)，直線l與直線OA，OC兩邊相交，

∴，

則；

②當(dāng)時(shí)，直線l與AB、OC兩邊相交，

則；

③當(dāng)時(shí)，直線l與AB、BC兩邊相交，

設(shè)直線l與x軸相交于H點(diǎn)，

∵，

∴；

綜上所述：，

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

∵的對稱軸為，

∴函數(shù)，當(dāng)時(shí)，S隨的增大而減小，

即時(shí)，S取得最大值：，

綜上所述，當(dāng)秒時(shí)，．