Question

【題目】如圖，D是的BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作的外接圓，將沿直線AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在的外接圓上．

（1）求證：AE=AB．

（2）若，，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC=3.

【解析】

（1）由翻折的性質(zhì)得出∠AED=∠ACD，AE=AC，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出∠ABD=∠AED，根據(jù)等量代換得出∠ABD=∠ACD，根據(jù)等角對(duì)等邊得出AB=AC，從而得出結(jié)論；（2）如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出BH=EH=1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理得出∠ABE=∠AEB=ADB，根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等及余弦函數(shù)的定義得出，從而得出AC=AB=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC的長(zhǎng)即可.

（1）∵將沿直線AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在的外接圓上，

∴∠AED=∠ACD，AE=AC，

∵∠ABD和∠AED是所對(duì)的圓周角，

∴∠ABD=∠AED，

∴∠ABD=∠ACD，

∴AB=AC，

∴AE=AB.

（2）如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，

∵AB=AE，AH⊥BE，BE=2，

∴BH=EH=BE=1，∠AEB=∠ABE，

∵∠ADB和∠AEB是所對(duì)的圓周角，

∴∠ADB=∠AEB，

∴∠ABE=∠ADB，

∵，

∴cos∠ABE=，

∴AB=3BH=3，

∵AB=AC，∠CAB=90°，

∴BC=AB=3.