【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(5,)、點B(9,﹣10),與y軸交于點C,點P是直線AC上方拋物線上的一個動點;
(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線BC交于點E,當(dāng)四邊形AECP的面積最大時,求點P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)∠PCB=90°時,作∠PCB的角平分線,交拋物線于點F.
①求點P和點F的坐標(biāo);
②在直線CF上是否存在點Q,使得以F、P、Q為頂點的三角形與△BCF相似,若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x﹣1;(2)點P坐標(biāo)為( , );(3)①P(3,2),F(6,﹣1);②存在,理由見解析,點Q的坐標(biāo)為(4,﹣1)或(﹣3,﹣1)
【解析】
(1)根據(jù)拋物線經(jīng)過點A,點B,運用待定系數(shù)法即可求得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式;
(2)根據(jù)直線BC為: 可設(shè)點P的坐標(biāo)為 則E 進而得到PE= 最后根據(jù)四邊形AECP的面積=△APE面積+△CPE面積,求得點P坐標(biāo)為
(3)①根據(jù)∠PCB=90°,CF平分∠PCB,可得∠BCF=45°,進而得出CF∥x軸,則當(dāng)y=-1時, 解得F 再根據(jù)直線CP為: 可得當(dāng)
時,可得P
②根據(jù)直線CB: 直線PF: 可得CB∥PF,即可得到∠BCF=∠PFC=45°,故在直線CF上存在滿足條件的點Q,再設(shè)Q 由題可得CF=6,CB= PF= 最后分兩種情況進行討論:當(dāng)△PFQ1∽△BCF時,當(dāng)△PFQ∽△FCB時,分別求得t的值,即可得出點Q的坐標(biāo)為
(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(5, )、點B(9,﹣10),
解得
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為
(2)由拋物線可得,C(0,﹣1),B(9,﹣10),
∴直線BC為:y=﹣x﹣1,
設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m﹣1),則E(m,﹣m﹣1),
∴PE=﹣m2+2m﹣1﹣(﹣m﹣1)=﹣m2+3m,
∴四邊形AECP的面積=△APE面積+△CPE面積
= ×(﹣m2+3m)×m+×(﹣m2+3m)×(5﹣m)
=(﹣m2+3m)
=﹣m2+m,
=﹣(m﹣)2+,
∴當(dāng)m=時,﹣m2+2m﹣1=,
∴點P坐標(biāo)為 ;
(3)①過點B作BH⊥
∵C(0,﹣1),B(9,﹣10),
∴CH=BH=9,
∴∠BCH=45°,
∵∠PCB=90°,CF平分∠PCB,
∴∠BCF=45°,
∴∠FCH=90°,即CF∥x軸,
當(dāng)y=﹣1時,﹣1=﹣x2+2x﹣1,
解得x1=0,x2=6,
∴F(6,﹣1),
∵CP⊥CB,C(0,﹣1),
∴直線CP為:y=x﹣1,
當(dāng)x﹣1=﹣x2+2x﹣1時,解得x1=0,x2=3,
當(dāng)x=3時,y=2,
∴P(3,2);
②∵直線CB:y=﹣x﹣1,直線PF:y=﹣x+5,
∴CB∥PF,
∴∠BCF=∠PFC=45°,
∴在直線CF上存在滿足條件的點Q,
設(shè)Q(t,﹣1),
由題可得CF=6,CB=9,PF=3,
(。┤鐖D所示,當(dāng)△PFQ1∽△BCF時,
,即
解得t=4,
∴Q1
(ⅱ)如圖所示,當(dāng)△PFQ∽△FCB時,
,即
解得t=﹣3,
∴Q2(﹣3,﹣1).
綜上所述,點Q的坐標(biāo)為(4,﹣1)或(﹣3,﹣1).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點D,E分別是邊BC,AB上的中點,連接DE并延長至點F,使EF=2DF,連接CE、AF.
(1)證明:AF=CE;
(2)當(dāng)∠B=30°時,試判斷四邊形ACEF的形狀并說明理由.
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【題目】如圖,正方形中,是對角線上一個動點,連結(jié),過作,,
,分別為垂足.
(1)求證:;
(2)①寫出、、三條線段滿足的等量關(guān)系,并證明;②求當(dāng),時,的長
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【題目】甲乙兩同學(xué)用兩枚質(zhì)地均勻的骰子作游戲,規(guī)則如下:每人隨機擲兩枚骰子一次(若擲出的兩枚骰子摞在一起,則重擲),點數(shù)和大的獲勝;點數(shù)和相同為平局.
根據(jù)上述規(guī)則,解答下列問題;
(1)隨機擲兩枚骰子一次,用列表法求點數(shù)和為8的概率;
(2)甲先隨機擲兩枚骰子一次,點數(shù)和是7,求乙隨機擲兩枚骰子一次獲勝的概率.
(骰子:六個面分別有1、2、3、4、5、6個小圓點的立方塊.點數(shù)和:兩枚骰子朝上的點數(shù)之和)
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【題目】如圖,已知正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)的圖象交于點A(m,﹣2).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)觀察圖象,直接寫出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍;
(3)若雙曲線上點C(2,n)沿OA方向平移個單位長度得到點B,判斷四邊形OABC的形狀并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,在邊長為 2a 的等邊△ABC 中,M 是高 CH 所在直線上的一個動點, 連接 BM,將線段 BM 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn) 60°得到 BN,連接 HN,則在點 M 運動的過程中,線段 BN 長度的最小值為___________ .
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,其中每個小正方形的邊長為1個單位長度.按要求作圖:
(1)畫出關(guān)于原點的中心對稱圖形;
(2)畫出將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的.
(3)設(shè)為邊上一點,在上與點對應(yīng)的點是.則點坐標(biāo)為__________.
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【題目】如圖,甲、乙兩漁船同時從港口O出發(fā)外出捕魚,乙沿南偏東30°方向以每小時15海里的速度航行,甲沿南偏西75°方向以每小時15海里的速度航行,當(dāng)航行1小時后,甲在A處發(fā)現(xiàn)自己的漁具掉在乙船上,于是迅速改變航向和速度,仍以勻速沿南偏東60°方向追趕乙船,正好在B處追上.甲船追趕乙船的速度為多少海里/小時?
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