Question

【題目】點(diǎn)為圖形上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂足為，記的長度為.

定義一:若存在最大值，則稱其為“圖形到直線的限距離”，記作；

定義二:若存在最小值，則稱其為“圖形到直線的基距離”，記作；

（1）已知直線，平面內(nèi)反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象記作則 ．

（2）已知直線，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一個(gè)動點(diǎn)，的半徑為，點(diǎn)在上，若求此時(shí)的取值范圍，

（3）已知直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)恒在直線上，點(diǎn)是平面上一動點(diǎn)，記以點(diǎn)為頂點(diǎn)，原點(diǎn)為對角線交點(diǎn)的正方形為圖形，若請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或

【解析】

（1）作直線：平行于直線，且與H相交于點(diǎn)P，連接PO并延長交直線于點(diǎn)Q，作PM⊥x軸，根據(jù)只有一個(gè)交點(diǎn)可求出b，再聯(lián)立求出P的坐標(biāo)，從而判斷出PQ平分∠AOB，再利用直線表達(dá)式求A、B坐標(biāo)證明OA=OB，從而證出PQ即為最小距離，最后利用勾股定理計(jì)算即可；

（2）過點(diǎn)作直線，可判斷出上的點(diǎn)到直線的最大距離為，然后根據(jù)最大距離的范圍求出TH的范圍，從而得到FT的范圍，根據(jù)范圍建立不等式組求解即可；

（3）把點(diǎn)P坐標(biāo)帶入表達(dá)式，化簡得到關(guān)于a、b的等式，從而推出直線的表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)可確定點(diǎn)E所在直線表達(dá)式，再根據(jù)最小距離為0，推出直線一定與圖形K相交，從而分兩種情況畫圖求解即可．

解：（1）作直線：平行于直線，且與H相交于點(diǎn)P，連接PO并延長交直線于點(diǎn)Q，作PM⊥x軸，

∵ 直線：與H相交于點(diǎn)P，

∴，即，只有一個(gè)解，

∴，解得，

∴，

聯(lián)立，解得，即，

∴，且點(diǎn)P在第一、三象限夾角的角平分線上，即PQ平分∠AOB，

∴為等腰直角三角形，且OP=2，

∵直線：，

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴A(－2，0)，B(0，－2)，

∴OA=OB=2，

又∵OQ平分∠AOB，

∴OQ⊥AB，即PQ⊥AB，

∴PQ即為H上的點(diǎn)到直線的最小距離，

∵OA=OB，

∴，

∴AQ=OQ，

∴在中，OA=2，則OQ=，

∴，即；

（2）由題過點(diǎn)作直線，

則上的點(diǎn)到直線的最大距離為，

∵，

即，

∴，

由題，則，

∴，

又∵，

∴，

解得或；

（3）∵直線恒過定點(diǎn)，

∴把點(diǎn)P代入得：，

整理得：，

∴，化簡得，

∴，

又∵點(diǎn)恒在直線上，

∴直線的表達(dá)式為：，

∵，

∴直線一定與以點(diǎn)為頂點(diǎn)，原點(diǎn)為對角線交點(diǎn)的正方形圖形相交，

∵，

∴點(diǎn)E一定在直線上運(yùn)動，

情形一：如圖，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到所對頂點(diǎn)F在直線上時(shí)，由題可知E、F關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∵，

∴，

把點(diǎn)F代入得：，解得：，

∵當(dāng)點(diǎn)E沿直線向上運(yùn)動時(shí)，對角線變短，正方形變小，無交點(diǎn)，

∴點(diǎn)E要沿直線向下運(yùn)動，即；

情形二：如圖，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到直線上時(shí)，

把點(diǎn)E代入得：，解得：，

∵當(dāng)點(diǎn)E沿直線向下運(yùn)動時(shí)，對角線變短，正方形變小，無交點(diǎn)，

∴點(diǎn)E要沿直線向上運(yùn)動，即，

綜上所述，或．