Question

【題目】操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，將一塊等腰三角形板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)。圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況。研究：

（1）三角板ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖②加以證明。

（2）三角板ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時(shí)CE的長(zhǎng)）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。（圖④不用）

Answer 1

【答案】（1）PD=PE；（2）CE=0或1．

【解析】

試題分析：連接PC，根據(jù)題意得出CP=PB，∠ACP=∠B=45°，∠DPC=∠BPE，從而得出△PCD和△PBE全等，從得出答案；第二題分PE=PB，PB=BE和PE=BE三種情況分別進(jìn)行討論．

試題解析：（1）由圖①可猜想PD=PE，再在圖②中構(gòu)造全等三角形來(lái)說(shuō)明．即PD=PE．

理由如下：連接PC，因?yàn)?/span>△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點(diǎn)，∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°．

∴∠ACP=∠B=45°．又∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，∴∠DPC=∠BPE．

∴△PCD≌△PBE． ∴PD=PE．

（2）△PBE是等腰三角形，

①當(dāng)PE=PB時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，CE=0；

②當(dāng)PB=BE時(shí)，1）E在線段BC上， ，2）E在CB的延長(zhǎng)線上，

③當(dāng)PE=BE時(shí)，CE=1．