Question

如圖：⊙M在直角坐標(biāo)系中，圓心M在y軸正半軸上，弧AB所對(duì)的圓心角是120°，⊙M的半徑是2cm．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式．
（3）點(diǎn)D是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最大值．
（4）在（2）中的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）連結(jié)OA、OB，根據(jù)垂徑定理由OC⊥AB得弧AC=弧BC，則∠AMC=∠BMC，由于∠AMB=120°，所以∠AMC=60°，在Rt△AMO中，∠MAO=30°，AM=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OM=

1

2

AM=1，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）；
（2）在Rt△AMO中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OA=

3

，OC=1，則OB=OA=

3

，得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），然后利用待定系數(shù)法確定過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=

1

3

x²-1；
（3）由于四邊形ACBD面積=S_△ABC+S_△ABD，S_△ABC=

3

，則當(dāng)S_△ABD最大時(shí)，四邊形ACBD面積最大，而當(dāng)點(diǎn)D為弦AB所對(duì)的優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，S_△ABD最大，最大值=

1

2

×2

3

×3=3

3

，于是得到四邊形ACBD面積的最大值為4

3

；
（4）先得到△ABC為頂角為120°的等腰三角形，則當(dāng)點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形為頂角為120°的等腰三角形時(shí)，與△ABC相似，由于C點(diǎn)為拋物線(xiàn)的最低點(diǎn)，則點(diǎn)P在x軸上方的拋物線(xiàn)上，分類(lèi)討論：當(dāng)∠ABP=120°，且BA=BP=2

3

時(shí)，△BAP∽△CAB，作PH⊥x軸于H，易得∠PBH=60°，∠BPH=30°，則BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，3），當(dāng)∠BAP=120°，且AB=AP=2

3

時(shí)，△ABP∽△CAB，同理可得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

3

，3）．

解答：解：（1）連結(jié)OA、OB，如圖，
∵OC⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AMC=∠BMC，
∵弧AB所對(duì)的圓心角是120°，即∠AMB=120°，
∴∠AMC=60°，
在Rt△AMO中，∠MAO=30°，AM=2，
∴OM=

1

2

AM=1，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）；
（2）在Rt△AMO中，∠MAO=30°，OM=1，
∴OA=

3

，OC=1，
∴OB=OA=

3

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），
設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+

3

）（x-

3

），
把C（0，-1）代入得-3a=-1，解得a=

1

3

，
∴過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=

1

3

（x+

3

）（x-

3

）=

1

3

x²-1；
（3）∵四邊形ACBD面積=S_△ABC+S_△ABD，
而S_△ABC=

1

2

×1×2

3

=

3

，
∴當(dāng)S_△ABD最大時(shí)，四邊形ACBD面積最大，
∴當(dāng)點(diǎn)D為弦AB所對(duì)的優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，S_△ABD最大，最大值=

1

2

×2

3

×3=3

3

，
∴四邊形ACBD面積的最大值為4

3

；
（4）存在．
∵OC=OM=1，OA⊥MC，
∴△MAC為等邊三角形，
∴∠ACO=60°，AC=AM=2，
∴△ABC為頂角為120°的等腰三角形，
∴當(dāng)點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形為頂角為120°的等腰三角形時(shí)，與△ABC相似，
C點(diǎn)為拋物線(xiàn)的最低點(diǎn)，則點(diǎn)P在x軸上方的拋物線(xiàn)上，
當(dāng)∠ABP=120°，且BA=BP=2

3

時(shí)，△BAP∽△CAB，
作PH⊥x軸于H，∠PBH=60°，∠BPH=30°，
∴BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，3），
當(dāng)∠BAP=120°，且AB=AP=2

3

時(shí)，△ABP∽△CAB，同理可得P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

3

，3），
∴滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，3）、（-2

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，會(huì)利用相似比和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行幾何計(jì)算．