Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，tan∠ACB=

4

3

，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求證：

FE

EC

=

AE

DC

；
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求△AEC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用矩形的性質(zhì)，在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)求出AC、BC的長(zhǎng)度，從而得到A點(diǎn)坐標(biāo)；由點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，進(jìn)而得到D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）欲證

FE

EC

=

AE

DC

；只需證明△AEF與△DCE相似，只需要證明兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可．如圖①，在△AEF與△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，從而問題解決；
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論：
①當(dāng)CE=EF時(shí)，此時(shí)△AEF與△DCE相似比為1，則有AE=CD；求出E點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出面積．
②當(dāng)EF=FC時(shí)，此時(shí)△AEF與△DCE相似比為

6

5

，則有AE=

5

6

CD；求出E點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出面積．
③當(dāng)CE=CF時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與A點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在．

解答：解：（1）由題意tan∠ACB=

4

3

，
∴cos∠ACB=

3

5

，
∵四邊形ABCO為矩形，AB=16，
∴BC=12，AB=20，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-12，0），
∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴D（12，0）．
（2）點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性質(zhì)）
∴∠AEF=∠DCE．
則在△AEF與△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE．
∴

FE

EC

=

AE

DC

；
（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：
①當(dāng)CE=EF時(shí)，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=20，
∴OE=AE-OA=20-12=8，
∴E（8，0）；
∴△AEC的面積為

1

2

AE•OC=

1

2

×20×16=160．
②當(dāng)EF=FC時(shí)，如圖②所示，過點(diǎn)F作FM⊥CE于M，則點(diǎn)M為CE中點(diǎn)，
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=

6

5

EF．
∵△AEF∽△DCE，
∴

EF

CE

=

AE

ED

，即：

EF

6 5 EF

=

AE

20

，
解得：AE=

50

3

，
∴OE=AE-OA=

14

3

，
∴E(

14

3

，0)．
∴△AEC的面積為

1

2

AE•OC=

1

2

×16×

50

3

=

400

3

．
③當(dāng)CE=CF時(shí)，則有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此時(shí)E點(diǎn)與D點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾．
∴△AEC的面積為160或者

400

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了矩形、等腰三角形、直角三角形等平面幾何圖形在坐標(biāo)平面內(nèi)的性質(zhì)與變換，相似三角形的判定與性質(zhì)應(yīng)用是其核心．難點(diǎn)在于第（3）問，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論，注意不要漏解，繼而求得面積．