Question

【題目】閱讀下列材料，然后解答問題．

經(jīng)過正四邊形（即正方形）各頂點的圓叫做這個正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對稱中心，這個正四邊形叫做這個圓的內(nèi)接正四邊形．

如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2．以圓心O為頂點作∠MON，使∠MON＝90°．將∠MON繞點O旋轉(zhuǎn)，OM、ON分別與⊙O交于點E、F，分別與正方形ABCD的邊交于點G、H．設(shè)由OE、OF、及正方形ABCD的邊圍成的圖形（陰影部分）的面積為S．

（1）當(dāng)OM經(jīng)過點A時（如圖1），則S、S1、S2之間的關(guān)系為： （用含S1、S2的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)OM⊥AB于G時（如圖2），則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由；

（3）當(dāng)∠MON旋轉(zhuǎn)到任意位置時（如圖3），則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） S=（S1-S2）；（2） 結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）結(jié)論仍然成立，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）結(jié)合正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，容易得出結(jié)論；

（2）仍然成立，可證得四邊形OGHB為正方形，則可求出陰影部分的面積為扇形OEF的面積減去正方形OGBH的面積；

（3）仍然成立，過O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分別為R、S，則可證明△ORG≌△OSH，可得出四邊形ORBS的面積=四邊形OGBH的面積，再利用扇形OEF的面積減正方形ORBS的面積即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）當(dāng)OM經(jīng)過點A時由正方形的性質(zhì)可知：∠MON=90°，

∴S△OAB=S正方形ABCD=S2，S扇形OEF=S圓O=S1，

∴S=S扇形OEF-S△OAB=S圓O-S正方形ABCD=S1-S2=（S1-S2），

（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：

∵∠EOF=90°，

∴S扇形OEF=S圓O=S1

∵∠OGB=∠EOF=∠ABC=90°，

∴四邊形OGBH為矩形，

∵OM⊥AB，

∴BG=AB=BC=BH，

∴四邊形OGBH為正方形，

∴S四邊形OGBH=BG2=（AB）2=S2，

∴S=S扇形OEF-S四邊形OGBH=S1-S2=（S1-S2）；

（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：

∵∠EOF=90°，

∴S扇形OEF=S圓O=，

過O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分別為R、S，

由（2）可知四邊形ORBS為正方形，

∴OR=OS，

∵∠ROS=90°，∠MON=90°，

∴∠ROG=∠SOH=90°-∠GOS，

在△ROG和△SOH中，

，

∴△ROG≌△SOH（ASA），

∴S△ORG=S△OSH，

∴S四邊形OGBH=S正方形ORBS，

由（2）可知S正方形ORBS=S2，

∴S四邊形OGBH=S2，

∴S=S扇形OEF-S四邊形OGBH=（S1-S2）．