【題目】如圖1,點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0),以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作等邊OAB,點(diǎn)C為x軸上一動(dòng)點(diǎn),且在點(diǎn)A右側(cè),連接BC,以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊BCD,連接AD交BC于E.

(1)直接回答:OBC與ABD全等嗎?

試說(shuō)明:無(wú)論點(diǎn)C如何移動(dòng),AD始終與OB平行;

(2)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到使AC2=AEAD時(shí),如圖2,經(jīng)過(guò)O、B、C三點(diǎn)的拋物線為y1.試問(wèn):y1上是否存在動(dòng)點(diǎn)P,使BEP為直角三角形且BE為直角邊?若存在,求出點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;

(3)在(2)的條件下,將y1沿x軸翻折得y2,設(shè)y1與y2組成的圖形為M,函數(shù)的圖象l與M有公共點(diǎn).試寫出:l與M的公共點(diǎn)為3個(gè)時(shí),m的取值.

【答案】(1)①△OBC與ABD全等證明見解析;(2)P(3,)或(﹣2,;(3)m0.

【解析】

試題分析:(1)利用等邊三角形的性質(zhì)證明OBC≌△ABD;

證明OBA=BAD=60°,可得OBAD;

(2)首先證明DEBC,再求直線AE與拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P,所以分別求直線AE和拋物線y1的解析式組成方程組,求解即可;

(3)先畫出如圖3,根據(jù)圖形畫出直線與圖形M有個(gè)公共點(diǎn)時(shí),兩個(gè)邊界的直線,上方到,將向下平移即可滿足l與圖形M有3個(gè)公共點(diǎn),一直到直線l與y2相切為止,主要計(jì)算相切時(shí),列方程組,確定△≥0時(shí),m的值即可.

試題解析:(1)①△OBC與ABD全等,理由是:如圖1,∵△OAB和BCD是等邊三角形,∴∠OBA=CBD=60°,OB=AB,BC=BD,∴∠OBA+ABC=CBD+ABC,即OBC=ABD,∴△OBC≌△ABD(SAS);

②∵△OBC≌△ABD,∴∠BAD=BOC=60°,∴∠OBA=BAD,OBAD,無(wú)論點(diǎn)C如何移動(dòng),AD始終與OB平行;

(2)如圖2,AC2=AEAD,∵∠EAC=DAC,∴△AEC∽△ACD,∴∠ECA=ADC,∵∠BAD=BAO=60°,∴∠DAC=60°,∵∠BED=AEC,∴∠ACB=ADB,∴∠ADB=ADC,BD=CD,DEBC,RtABE中,BAE=60°,∴∠ABE=30°,AE=AB=×2=1,RtAEC中,EAC=60°,∴∠ECA=30°,AC=2AE=2,C(4,0),等邊OAB中,過(guò)B作BHx軸于H,BH= =,B(1,),設(shè)y1的解析式為:y=ax(x﹣4),把B(1,)代入得: =a(1﹣4),a=﹣,設(shè)y1的解析式為:y1=﹣x(x﹣4)=,過(guò)E作EGx軸于G,RtAGE中,AE=1,AG=AE=,EG==,E(),設(shè)直線AE的解析式為:y=kx+b,把A(2,0)和E(,)代入得:,解得:直線AE的解析式為:,則,解得:,,P(3,)或(﹣2,);

(3)如圖3,y1==,頂點(diǎn)(2,),拋物線y2的頂點(diǎn)為(2,﹣),y2=,當(dāng)m=0時(shí),與圖形M兩公共點(diǎn),當(dāng)y2與l相切時(shí),即有一個(gè)公共點(diǎn),l與圖形M有3個(gè)公共點(diǎn),則,,x2﹣7x﹣3m=0,=(﹣7)2﹣4×1×(﹣3m)0,m,當(dāng)l與M的公共點(diǎn)為3個(gè)時(shí),m的取值是:﹣m0.

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