Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，∠B與∠C的平分線交于點P．
（1）當∠A=112°時，求∠BPC的度數(shù)；
（2）當∠A=α?xí)r，求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC中，∠A=112°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣112°=68°，

∴BP，CP分別為∠ABC與∠ACP的平分線，

∴∠2+∠4= （∠ABC+∠ACB）= ×68°=34°，

∴∠P=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣34°=146°

（2）解：如圖，連接AP并延長至D，

∵∠ABC與∠ACB的角平分線相交于P，

∴∠1= ABC，∠3= ∠ACB，

∵∠BPD是△ABD的外角，

∴∠BPD=∠1+∠BAP，

同理可得∠CPD=∠3+∠CAP，

∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠1+∠BAP+∠3+∠CAP= ABC+ ∠ACB+∠BAC= （∠ABC+∠ACB）+α= （180°﹣α）+α=90°+ α．

【解析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再由角平分線的定義得出∠2+∠4的度數(shù)，最后由三角形內(nèi)角和定理，即可求出∠BPC的度數(shù)；（2）先連接AP并延長至D，根據(jù)∠ABC與∠ACB的角平分線相交于P，求得∠1= ABC，∠3= ∠ACB，最后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，求得∠BPC的度數(shù)．
【考點精析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角和三角形的外角的相關(guān)知識點，需要掌握三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角才能正確解答此題．