【題目】如圖,CD∥AB,∠ABC,∠BCD 的角平分線交 AD 于 E 點,且 E 在 AD 上,CE 交 BA 的延長線于 F 點.

(1)試問 BE 與 CF 互相垂直嗎?若垂直,請說明理由;
(2)若 CD=3,AB=4,求 BC 的長

【答案】
(1)解:垂直,理由如下:
∵CD∥AB,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
又∵∠ABC,∠BCD的角平分線交于E點,
∴∠ABE=∠EBC,∠DCE=∠ECB,
∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=(∠ABC+∠BCD)=90°,
∴∠CEB=90°,
∴BE 與 CF 互相垂直.

(2)解:由(1)知∠CEB=90°,
∴∠FEB=90°,
在△FBE 和△CBE 中,

∴△FBE≌△CBE(ASA),

∴BF=BC,EF=EC,
又∵CD∥AB,
∴∠DCE=∠AFE,
在△DCE和△AFE中,

∴△DCE≌△AFE,
∴DC=AF,
∵CD=3,AB=4,
∴BC=BF=AF+AB=CD+AB=3+4=7,

【解析】(1)垂直,理由如下:由兩直線平行,同旁內(nèi)角互補得出∠ABC+∠BCD=180°;又由角平分線定義得出∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD,
從而得出∠EBC+∠ECB=90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠CEB=90°,即BE 與 CF 互相垂直.
(2)由(1)知∠CEB=∠FEB=90°,根據(jù)ASA得△FBE≌△CBE,再由全等三角形的性質(zhì)得出BF=BC,EF=EC;又由兩直線平行,內(nèi)錯角相等,得到∠DCE=∠AFE,由ASA得△DCE≌△AFE,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DC=AF,由已知條件和等量代換求出BC的值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的角的平分線和平行線的性質(zhì),需要了解從一個角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線;兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補才能得出正確答案.

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