【題目】如果三角形的兩個內(nèi)角αβ滿足2α+β=90°,那么我們稱這樣的三角形為準互余三角形”.

(1)若ABC準互余三角形”,C>90°,A=60°,則∠B=   °;

(2)如圖①,在RtABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分線,不難證明ABD準互余三角形.試問在邊BC上是否存在點E(異于點D),使得ABE也是準互余三角形?若存在,請求出BE的長;若不存在,請說明理由.

(3)如圖②,在四邊形ABCD中,AB=7,CD=12,BDCD,ABD=2BCD,且ABC準互余三角形,求對角線AC的長.

【答案】(1)15°;(2)BE=.(3)AC=20.

【解析】

1)根據(jù)準互余三角形的定義構(gòu)建方程即可解決問題;

(2)只要證明CAE∽△CBA,可得CA2=CECB,由此即可解決問題;

(3)如圖②中,將BCD沿BC翻折得到BCF.只要證明FCB∽△FAC,可得CF2=FBFA,設(shè)FB=x,則有:x(x+7)=122,推出x=9或﹣16(舍棄),再利用勾股定理求出AC即可;

1)∵△ABC準互余三角形”,C>90°,A=60°,

2B+A=60°,

解得,∠B=15°;

(2)如圖①中,

RtABC中,∵∠B+BAC=90°,BAC=2BAD,

∴∠B+2BAD=90°,

∴△ABD準互余三角形”,

∵△ABE也是準互余三角形”,

∴只有2B+BAE=90°,

∵∠B+BAE+EAC=90°,

∴∠CAE=B,∵∠C=C=90°,

∴△CAE∽△CBA,可得CA2=CECB,

CE=,

BE=5﹣=

(3)如圖②中,將BCD沿BC翻折得到BCF.

CF=CD=12,BCF=BCD,CBF=CBD,

∵∠ABD=2BCD,BCD+CBD=90°,

∴∠ABD+DBC+CBF=180°,

A、B、F共線,

∴∠A+ACF=90°

2ACB+CAB≠90°,

∴只有2BAC+ACB=90°,

∴∠FCB=FAC,∵∠F=F,

∴△FCB∽△FAC,

CF2=FBFA,設(shè)FB=x,

則有:x(x+7)=122

x=9或﹣16(舍去),

AF=7+9=16,

RtACF中,AC=

練習冊系列答案
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(2)y軸上是否存在點P,使得SPOB=SABC若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

(3)把點C往上平移3個單位得到點H,作射線CH,連接BH,點M在射線CH上運動(不與點CH重合).試探究∠HBM,∠BMA,∠MAC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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1a=____________,b=____________

2)若小螞蟻甲從點A處以3個單位長度/秒的速度向左運動,同時小螞蟻乙從點B處以4單位長度/秒的速度也向左運動,丙同學觀察兩只小螞蟻運動,在它們剛開始運動時,在原點0處放置一顆飯粒,乙在碰到飯粒后立即背著飯粒以原來的速度向相反的方向運動,設(shè)運動的時間為t秒,求甲、乙兩只小螞蟻到原點的距離相等時所對應的時間t.(寫出解答過程)

3)若小螞蟻甲和乙約好分別從A,B兩點,分別沿數(shù)軸甲向左,乙向右以相同的速度爬行,經(jīng)過一段時間原路返回,剛好在16s時一起重新回到原出發(fā)點AB,設(shè)小螞蟻們出發(fā)ts)時的速度為vmm/s),vt之間的關(guān)系如下圖.(其中s表示時間單位秒,mm表示路程單位毫米)

t s

0<t≤2

2<t≤5

5<t≤16

vmm/s

10

16

8

①當2<t≤5時,你知道小螞蟻甲與乙之間的距離嗎?(用含有t的代數(shù)式表示);

②當t__________________時,小螞蟻甲乙之間的距離是42mm.(請直接寫出答案)

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(2)設(shè),

①如圖2,當點在線段BC上移動,則,之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;

②當點在直線BC上移動,則,之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論.

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