Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上的一動點．連接CE，過點B作BF⊥CE，垂足為F交直線CD于點G．

（1）如圖l，當點E在線段AD上時，請直接判斷AE與CG的數量關系；

（2）如圖2，當點E在線段DB上時，（1）中AE與CG的數量關系是否依然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（3）當AC=2，且四邊形DEFG的面積為時，請直接寫出線段AE的長．

Answer 1

【答案】（1）AE=CG，理由見解析；（2）依然成立， AE=CG；理由見解析；（3）線段AE的長為1或3．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠A=∠ABC，根據同角的余角相等得到∠CBG=∠ACE，根據ASA證明△ACE≌△CBG，即可得出結論；
（2）同理即可證明△ACE≌△CBG，即可得出結論；
（3）由等腰直角三角形的性質得出AB=AC=4，CD=AB=AD=BD=2，CD⊥AB，證明△CDE≌△BDG，得出DE=DG，設DE=DG=x，則CG=2-x，CE= ，證明△CFG∽△CDE，得出 ，求出FG=，CF=，，由四邊形DEFG的面積=△CDE的面積-△CFG的面積=，得出方程，解方程得出DE=1；再分兩種情況，即可得出答案．

（1）AE=CG，理由如下：

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠ABC=45°．

∵點D是AB的中點，

∴∠BCG=∠ACB=45°，

∴∠A=∠BCG．

∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°．

∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠CBG=∠ACE，

在△ACE和△CBG中，，

∴△ACE≌△CBG（ASA），

∴AE=CG；

（2）（1）中AE與CG的數量關系依然成立，即AE=CG；理由如下：

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠ABC=45°．

∵點D是AB的中點，

∴∠BCG=∠ACB=45°，

∴∠A=∠BCG．

∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°．

∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠CBG=∠ACE，

在△ACE和△CBG中，，

∴△ACE≌△CBG（ASA），

∴AE=CG；

（3）∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，

∴AB=AC=4，CD=AB=AD=BD=2，CD⊥AB，

∴∠CDE=∠BDG=90°，

∴∠CED+∠DCE=90°，

∵BF⊥CE，

∴∠DBG+∠CED=∠90°，

∴∠DCE=∠DBG，

在△CDE和△BDG中，，

∴△CDE≌△BDG（ASA），

∴DE=DG，

設DE=DG=x，則CG=2-x，CE==，

∵∠CFG=∠CDE=90°，∠FCG=∠DCE，

∴△CFG∽△CDE，

∴==，即==，

解得：FG=，CF=，

∵四邊形DEFG的面積=△CDE的面積-△CFG的面積=，

∴×x×2-××=，

解得：x=1，即DE=1；

①當點E在線段AD上時，AE=AD-DE=1；

②當點E在線段DB上時，AE=AD+DE=3；

綜上所述，當AC=2，且四邊形DEFG的面積為時，線段AE的長為1或3．