Question

【題目】直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)A、C，CM是∠ACD的平分線，CM交AB于點(diǎn)N．

（1）如圖①，過點(diǎn)A作AC的垂線交CM于點(diǎn)M，若∠MCD＝55°，求∠MAN的度數(shù)；

（2）如圖②，點(diǎn)G是CD上的一點(diǎn)，連接MA、MG，若MC平分∠AMG且∠AMG＝36°，∠MGD+∠EAB＝180°，求∠ACD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）∠MAN＝20°；（2）∠ACD＝108°．

【解析】

（1）依據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，即可得到∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)垂線的定義，即可得出∠MAN的度數(shù)；

（2）設(shè)∠ACD=α，根據(jù)角平分線以及平行線即可得到∠MCG= ，ACD=α，∠BAC=∠MGD=180°-α，依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到α的度數(shù)．

（1）∵CM是∠ACD的平分線，∠MCD＝55°，

∴∠ACD＝2∠MCD＝110°，

又∵AB∥CD，

∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，

又∵AM⊥EF，

∴∠MAN＝90°﹣70°＝20°；

（2）∵MC平分∠AMG且∠AMG＝36°，

∴∠CMG＝18°，

∵MC平分∠ACG，

∴∠MCG＝∠ACG，

∵∠CAB+∠EAB＝180°，∠MGD+∠EAB＝180°，

∴∠BAC＝∠MGD，

∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠ACD＝180°，

設(shè)∠ACD＝α，則∠MCG＝ACD＝α，∠BAC＝∠MGD＝180°﹣α，

∵∠MGD是△CMG的外角，

∴∠MGD＝∠CMG+∠MCG，即180°﹣α＝α+18°，

解得α＝108°，

∴∠ACD＝108°．