【題目】小明拿兩個大小不等直角三角板作拼圖,如圖①小三角板的斜邊與大三角板直角邊正好重合,已知: AD=1,∠B=∠ ACD=30°,
(1)A B的長=__________;四邊形ABCD的面積=___________(直接填空);
(2)如圖②,若小明將小三角板ACD沿著射線AB方向平移,設平移的距離為m(平移距離指點A沿AB方向所經過的線段長度).當點D平移到線段大三角板ABC的邊上時,直接寫出相應的m的值.
(3)如圖③,小明將小三角板ACD繞點A逆時針旋轉一個角α(0°<α<180°),記旋轉中的△ACD為△AC′D′,在旋轉過程中,設C′D′所在的直線與直線BC交于點P,與直線AB交于點Q.是否存在這樣的P、Q兩點,使△BPQ為等腰三角形?若存在,請直接求出此時D’Q的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)AB=4,面積為;(2)1或3;(3)2-; ; +2.
【解析】試題分析:(1)根據30度的直角三角形的性質,求出AC、CD、AB、BC即可解決問題;
(2)如圖2中,作DE∥AB交BC于E,交AC于F.求出DF、DE即可解決問題;
(3)分三種情形求解①如圖3中,當BP=BQ時,②如圖4中,當BQ=PQ時,③如圖5中,當BP=BQ時,分別求解即可;
試題解析:(1)如圖1中,
在Rt△ACD中,∵AD=1,∠ACD=30°,
∴AC=2CD=2,CD=AD=,
在Rt△ACB中,∵∠B=30°,AC=2,
∴AB=2AC=4,BC=AC=2,
∴四邊形ABCD的面積=S△ACD+S△ABC=×1×+×2×2= .
(2)如圖2中,作DE∥AB交BC于E,交AC于F.
∴∠DFA=∠BAC=60°=∠DAF,
∴△ADF是等邊三角形,
∴AF=AD=DF=CF=1,∵FE∥AB,
∴CE=EB,
∴EF=AB=2,
∴當點D平移到線段大三角板ABC的邊上時,相應的m的值為1或3.
(3)①如圖3中,當BP=BQ時,在AD′上取一點E使得AE=EQ.
∵∠PBQ=30°,
∴∠AQD′=75°,∵∠AD′Q=90°,
∴∠EAQ=∠EQA=15°
∴∠QED′=30°,設D′Q=x,則AE=EQ=2x,ED′=x,
∴2x+x=1,
∴x=2-,
∴D′Q=2-.
②如圖4中,當BQ=PQ時,易知∠AQD′=60°,D′Q=ADtan30°=.
③如圖5中,當BP=BQ時,易知∠AQC′=∠C′AQ=15°,∴C′=C′Q,∴D′Q=D′C+C′Q′=.
綜上所述,當△PBQ是等腰三角形時,D′Q的值為2-或 或.
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【題目】下列事件中,屬于必然事件的是( )
A.三角形的內心到三角形三個頂點的距離相等B.重心有可能在三角形外
C.外心是三角形三條角平分線的交點D.等邊三角形的內心與外心重合
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【題目】
求m,n的值
已知m是關于x的方程:3x+4a=5x-4的解,求a的值;
已知線段AB=m,在直線AB上取一點P,恰好使AP=nPB,其中點Q為線段PB的中點,求線段AQ的長度。
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【題目】我們已經學習過“乘方”和“開方”運算,下面給同學們介紹一種新的運算,即對數運算.
定義:如果ab=N(a>0,a≠1,N>0),則b叫做以a為底N的對數,記作logaN=b.
例如:因為,所以;因為,所以.
(1)填空: _____, ________.
(2)如果,求m的值.
(3)對于“對數”運算,小明同學認為有“”,他的說法正確嗎?如果正確,請給出證明過程;如果不正確,請說明理由,并加以改正。
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【題目】如圖,已知直線與雙曲線交于A、B兩點,點B坐標為(-4,-2),C為雙曲線上一點,且在第一象限內,若△AOC面積為6,則點C坐標為( )
A. (4,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (2,4)
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠BAC=60°,點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點,以OA為半徑的⊙O與BC切于點D,與AC交于點E,連接AD.
(1)求∠CAD的度數;
(2)若OA = 2,求陰影部分的面積(結果保留π).
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