【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為2cm,∠DAB=60°.點P從A點出發(fā),以cm/s的速度,沿AC向C作勻速運動;與此同時,點Q也從A點出發(fā),以1cm/s的速度,沿射線AB作勻速運動.當(dāng)P運動到C點時,P、Q都停止運動.設(shè)點P運動的時間為ts.
(1)當(dāng)P異于A.C時,請說明PQ∥BC;
(2)以P為圓心、PQ長為半徑作圓,請問:在整個運動過程中,t為怎樣的值時,⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點?
【答案】解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,且菱形ABCD的邊長為2,
∴AB=BC=2,∠BAC=∠DAB。
又∵∠DAB=60°,∴∠BAC=∠BCA=30°。
如圖1,連接BD交AC于O。
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=AC。
∴OB=AB=1。∴OA=,AC=2OA=2。
運動ts后,AP=t,AO=t,∴。
又∵∠PAQ=∠CAB,∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.
∴PQ∥BC.
(2)如圖2,⊙P與BC切于點M,連接PM,則PM⊥BC。
在Rt△CPM中,∵∠PCM=30°,∴PM=。
由PM=PQ=AQ=t,即=t,解得t=,
此時⊙P與邊BC有一個公共點。
如圖3,⊙P過點B,此時PQ=PB,
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB為等邊三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。
∴當(dāng)時,⊙P與邊BC有2個公共點。
如圖4,
⊙P過點C,此時PC=PQ,即=t
∴t=。
∴當(dāng)1≤t≤時,⊙P與邊BC有一個公共點。
當(dāng)點P運動到點C,即t=2時,Q、B重合,⊙P過點B,
此時,⊙P與邊BC有一個公共點。
綜上所述,當(dāng)t=或1≤t≤或t=2時,⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點;當(dāng)時,⊙P與邊BC有2個公共點。
【解析】
直線與圓的位置關(guān)系,菱形的性質(zhì),含30°角直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),平行的判定,切線的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì)。
(2)分⊙P與BC切于點M,⊙P過點B,⊙P過點C和點P運動到點C四各情況討論即可。
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【題目】如圖,∠AOB=90°,點C,D分別在射線OA,OB上,CE是∠ACD的平分線,CE的反向延長線與∠CDO的平分線交于點F.
(1)當(dāng)∠OCD=56°(如圖①),試求∠F;
(2)當(dāng)C,D在射線OA、OB上任意移動時(不與點O重合)(如圖②),∠F的大小是否變化?若變化,請說明理由若不變化求出∠F.
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【題目】如圖,E,F(xiàn)是正方形ABCD的對角線AC上的兩點,且AE=CF.
(1)求證:四邊形BEDF是菱形;
(2)若正方形ABCD的邊長為4,AE=,求菱形BEDF的面積.
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【題目】如圖,圓⊙O的半徑為1,等腰直角三角形ABC的頂點B的坐標(biāo)為(2,0),∠CAB=90°,AC=AB,頂點A在⊙O上運動,當(dāng)直線AB與⊙O相切時,A點的坐標(biāo)為____________.
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【題目】如圖,△ABC≌△ADE,∠DAC=70°,∠BAE=100°,BC、DE相交于點F,則∠DFB度數(shù)為_____.
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【題目】二次函數(shù)的圖象如圖所示,給出以下結(jié)論:①;②;③;④.其中所有正確結(jié)論的序號是( )
A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③
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【題目】閱讀下列材料:
問題:已知方程x2+x﹣1=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍.
解:設(shè)所求方程的根為y,則y=2x,所以x=,把x=,代入已知方程,
得()2 +﹣1=0.
化簡,得y2+2y﹣4=0,
故所求方程為y2+2y﹣4=0
這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”.
請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程(要求:把所求方程化為一般形式):
(1)已知方程x2+2x﹣1=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的相反數(shù),則所求方程為 ;
(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不等于零的實數(shù)根,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的倒數(shù).
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【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中點,過點B作∠CBE=∠A,BE與射線CA相交于點E,與射線CD相交于點F.
(1)如圖,當(dāng)點E在線段CA上時,求證:BE⊥CD;
(2)若BE=CD,那么線段AC與BC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你所得到的結(jié)論;
(3)若△BDF是等腰三角形,求∠A的度數(shù).
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【題目】如圖是某地火車站及周圍的簡單平面圖.(每個小正方形的邊長代表1千米.)
(1)請以火車站所在的位置為坐標(biāo)原點,建立平面直角坐標(biāo)系,并表示出體育場A、超市B市場C、文化宮D的坐標(biāo).
(2)在這個坐標(biāo)平面內(nèi),連接OA,若∠AOB的度數(shù)大約為53°,請利用所給數(shù)據(jù)描述體育場相對于火車站的位置.
(3)要想用第(2)問的方法描述文化宮在火車站的什么位置,需要測量哪些數(shù)據(jù)?
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