【題目】已知拋物線yax2bxc開口向上,與x軸交于點A、B,與y軸交于點C

(1) 如圖1,若A (1,0)、C (0,3)且對稱軸為直線x2,求拋物線的解析式

(2) 在(1)的條件下,如圖2,作點C關于拋物線對稱軸的對稱點D,連接AD、BD,在拋物線上是否存在點P,使∠PAD=∠ADB,若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由

(3) 若直線lymxn與拋物線有兩個交點M、NMN的左邊),Q為拋物線上一點(不與MN重合),過點QQH平行于y軸交直線l于點H,求的值

【答案】1y=x2-4x+3;(2)點P的橫坐標的值為6;(31.

【解析】

1)把A、C點代入y=ax2+bx+c 得到ab的方程,加上對稱軸方程得到關于a、b的方程組,然后解方程組即可得到拋物線解析式;

2)當P點與B點在AD的同側,作DEx軸于E,EFADF,交拋物線于點P,如圖1,先確定C03),利用對稱性確定D43),再判斷△ADE為等腰直角三角形,則EF垂直平分AD,此時∠PAD=ADB,接著利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式為y=-x+4,然后解方程x2-4x+3=-x+4即可得到點P的橫坐標的值;當P點與B點在AD的兩側,易得直線BD的解析式為y=3x-9,設過點ABD平行的直線交拋物線于P點,利用平行問題求出線AP的解析式為y=3x-3,然后解方程x2-4x+3=3x-3得此時點P的橫坐標;

3)設Qtt2-4t+3),則Ht,m),設M、N的橫坐標分別為x1,x2,利用拋物線與一次函數(shù)的交點問題判斷x1,x2為方程x2-4x+3=m的兩根,則根據(jù)根與系數(shù)的關系得x1+x2=4,x1x2=3-m,由于HM=t-x1,NH=x2-t,則HMNH=-t2+4t-3+m,利用HQ=-t2+4t-3+m,于是可得的值.

1)根據(jù)題意得:

,解得,

∴拋物線的解析式為:y=x2-4x+3;

2)存在.當P點與B點在AD的同側,

DEx軸于E,EFADF,交拋物線于點P,如圖1,

∵點D與點C關于直線x=2對稱,

D4,3),

E4,0),

EA=ED=3,

∴△ADE為等腰直角三角形,

EF垂直平分AD

PA=PD,

∴∠PAD=ADB,

F點為AD的中點,

F,),

設直線EF的解析式為y=px+q,

E4,0),F,)代入得,解得,

∴直線EF的解析式為y=-x+4

解方程x2-4x+3=-x+4x1=,x2=,

此時點P的橫坐標的值為;

P點與B點在AD的兩側,

易得直線BD的解析式為y=3x-9

設過點ABD平行的直線交拋物線于P點,

直線AP的解析式為y=3x-3

解方程x2-4x+3=3x-3x1=1,x2=6,

此時點P的橫坐標的值為6

綜上所述,點P的橫坐標的值為6;

3)設Qt,t2-4t+3),則Htm),

M、N的橫坐標分別為x1x2,則x1x2為方程x2-4x+3=m的兩根,

x1+x2=4x1x2=3-m,

HM=t-x1,NH=x2-t,

HMNH=t-x1)(x2-t=-t2+x1+x2t-x1x2=-t2+4t-3+m,

HQ=m-t2-4t+3=-t2+4t-3+m

HMNH=HG,

的值為1

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1 2

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