Question

6．已知兩數(shù)之積等于1，我們稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，如：2×$\frac{1}{2}$=1，$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=1，我們稱(chēng)2與$\frac{1}{2}$；$\sqrt{2}$與$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$與$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$互為倒數(shù)．若a+$\sqrt$與a-$\sqrt$互為倒數(shù)，求$\sqrt{4a-b-5}$+$\sqrt{4a+a+5}$的倒數(shù)．

Answer 1

分析 先利用倒數(shù)的定義得到a²-b=1，即b=a²-1，則$\sqrt{4a-b-5}$=$\sqrt{-（a-2）^{2}}$，利用二次根式有意義的條件得a=2，則b=3，所以$\sqrt{4a-b-5}$+$\sqrt{4a+a+5}$=4，然后利用倒數(shù)定義求解．

解答 解：∵a+$\sqrt$與a-$\sqrt$互為倒數(shù)，
∴（a+$\sqrt$）（a-$\sqrt$）=1，
∴a²-b=1，即b=a²-1，
∴$\sqrt{4a-b-5}$=$\sqrt{4a-{a}^{2}+1-5}$=$\sqrt{-（a-2）^{2}}$，
∴-（a-2）²≤0
∴a-2=0，解得a=2，
∴b=a²-1=4-1=3，
∴$\sqrt{4a-b-5}$+$\sqrt{4a+a+5}$=0+$\sqrt{4×2+3+5}$=4，
所以$\sqrt{4a-b-5}$+$\sqrt{4a+a+5}$的倒數(shù)為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類(lèi)二次根式．利用二次根式有意義的條件確定a的值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．