Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A (8,0) ,B (0,6)，動點M從點A出發(fā)沿AO以每秒2個單位長度的速度向原點O運動，同時動點N從點B出發(fā)沿折線BO﹣OA向終點A運動，點N在y軸上的速度是每秒3個單位長度，在x軸上的速度是每秒4個單位長度，過點M作x軸的垂線交AB于點C，連結MN、CN．設點M運動的時間為t（秒），△MCN的面積為S（平方單位）．

（1）當t為何值時，點M、N相遇?

（2）求△MCN的面積S（平方單位）與時間t（秒）的函數(shù)關系式；

（3）當t為何值時，△MCN是等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）；（2）當0＜t≤2時，；當2＜t＜ 時，；當＜t≤4時，；（3）當t＝或或時，△MCN是等腰三角形

【解析】

（1）由題意列方程可求t的值；
（2）分0＜t≤2，2＜t＜，＜t≤4三種情況討論，由三角形的面積公式可求解；
（3）分0＜t≤2，2＜t＜，＜t≤4三種情況討論，即可求t的值．

解：（1）由題意可得：2t+4（t﹣2）＝8

∴t＝

∴當t＝時，點M、點N相遇；

（2）∵CM⊥OA，BO⊥OA，

∴CM∥BO，

∴△CMA∽△BOA ，

∴ 即：，

①如圖1所示：當0＜t≤2時， ，

②如圖2所示：當2＜t＜ 時，，

③如圖3所示：當＜t≤4時，；

（3）應分三種情況討論：

①當0＜t≤2時，點N在BO上．

（i）如圖4，過C作CH⊥OB于H，

則CH＝OM＝

又∵CM＝

∴CH—CM=—=

當0＜t≤2時，＞0，即CH＞CM

又CN≥CH，MN≥CH

∴CN＞CM，MN＞CM

即CNCM，MNMC

（ii）若NC=NM時，則△MCN是等腰三角形．

此時點N在CM的垂直平分線上，

∴ON=,

則有：6﹣3t＝

解得：t＝

②當2＜t＜時，如圖2所示：此時點N在OA上，且點N在點M左側．

∵∠CMN＝90°

∴只有當MC=MN時，△MCN是等腰三角形．

此時,

則有：

解得：t＝

③當＜t≤4時，如圖3所示：點N在OA上，且點N在點M右側．

同理可得：只有當MC=MN時，△MCN是等腰三角形．

此時

則有：

解得：t＝

綜上所述：當t＝或或時，△MCN是等腰三角形．