Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，AC＝6，BD＝8．點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，求作矩形EFGH，使得點(diǎn)F、G、H分別落在邊BC、CD、AD上．設(shè) AE＝m．

（1）如圖①，當(dāng)m＝1時(shí)，利用直尺和圓規(guī)，作出所有滿(mǎn)足條件的矩形EFGH；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

（2）寫(xiě)出矩形EFGH的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①當(dāng)m＝0時(shí)，存在1個(gè)矩形EFGH；②當(dāng)0＜m＜時(shí)，存在2個(gè)矩形EFGH；③當(dāng)m＝時(shí)，存在1個(gè)矩形EFGH；④當(dāng)＜m≤時(shí)，存在2個(gè)矩形EFGH；⑤當(dāng)＜m＜5時(shí)，存在1個(gè)矩形EFGH；⑥當(dāng)m＝5時(shí)，不存在矩形EFGH.

【解析】

（1）以O點(diǎn)為圓心，OE長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與菱形產(chǎn)生交點(diǎn)，順次連接圓O與菱形每條邊的同側(cè)交點(diǎn)即可；

（2）分別考慮以O為圓心，OE為半徑的圓與每條邊的線(xiàn)段有幾個(gè)交點(diǎn)時(shí)的情形，共分五種情況.

（1）如圖①，如圖②（也可以用圖①的方法，取⊙O與邊BC、CD、AD的另一個(gè)交點(diǎn)即可）

（2）∵O到菱形邊的距離為,當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)AE=，當(dāng)過(guò)點(diǎn)A,C時(shí)，⊙O與AB交于A,E兩點(diǎn)，此時(shí)AE=×2=，根據(jù)圖像可得如下六種情形：

①當(dāng)m＝0時(shí)，如圖，存在1個(gè)矩形EFGH；

②當(dāng)0＜m＜時(shí)，如圖，存在2個(gè)矩形EFGH；

③當(dāng)m＝時(shí)，如圖，存在1個(gè)矩形EFGH；

④當(dāng)＜m≤時(shí)，如圖，存在2個(gè)矩形EFGH；

⑤當(dāng)＜m＜5時(shí)，如圖，存在1個(gè)矩形EFGH；

⑥當(dāng)m＝5時(shí)，不存在矩形EFGH.