Question

【題目】已知點E、F分別是四邊形ABCD邊AB、AD上的點，且DE與CF相交于點G。

(1)如圖①，若AB∥CD，AB=CD，∠A=90°，且AD·DF=AE·DC，求證：DE⊥CF；

(2)如圖②，若AB∥CD，AB=CD，且∠A=∠EGC時，求證：DE·CD=CF·DA.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)已知條件得到四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質(zhì)得到∠A＝∠FDC＝90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠CFD＝∠AED，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到△DFG∽△DEA，推出，根據(jù)△CGD∽△CDF，得到，等量代換即可得到結(jié)論；

（1）證明：∵AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠FDC＝90°，

∵ADDF＝AEDC，

∴，

∴△AED∽△DFC，

∴∠CFD＝∠AED，

∵∠ADE+∠AED＝90°，

∴∠ADE+∠CFD＝90°，

∴∠DGF＝90°，

∴DE⊥CF；

（2）證明：∵∠A＝∠EGC，∠ADE＝∠GDF，

∴△DFG∽△DEA，

∴＝，

∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠AED＝∠EDC，

∴∠B＝∠ADC，

∵△DFG∽△DEA，

∴∠AED＝∠DFG，

∴∠DFC＝∠GDC，

∵∠DCG＝∠FCD，

∴△CGD∽△CDF，

∴＝，

∴＝，

∴DECD＝CFDA；