【題目】已知Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜邊OB=4,將Rt△OAB繞點O順時針旋轉60°,連接BC
(1)如圖1,連接AC,作OP⊥AC,垂足為P,求△AOC的面積和線段OP的長;
(2)如圖2,點M是線段OC的中點,點N是線段OB上的動點(不與點O重合),求△CMN周長的最小值.
【答案】(1)S△AOC=,OP=;(2)2+2.
【解析】
(1)先根據勾股定理求出各邊長AO、AB和角的度數,再根據旋轉60°,可以知道Rt△ODC是旋轉后得到的圖形,其對應邊和對應角都相等.從而求出BD、OC,并求出∠ABC=90°,可求出△AOC的面積,利用三角形的面積公式計算OP即可;
(2)如圖2,連接BM,AM,AC,根據等邊三角形的性質得到BM⊥OC,根據全等三角形的性質得到BM=AB,AO=OM,得到AM被BD垂直平分,即M關于直線BO的對稱點為A,連接AC,則C△CMN=AC+MC,于是得到結論.
解:(1)∵∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜邊OB=4,
∴∠AOB=60°,AO=2,AB=,
∵Rt△OAB繞點O順時針旋轉60°,得到Rt△ODC,
∴OC=4,OD=2,∠ODC=90°,∠DOC=60°,CD=,
∴BD=4﹣OD=4﹣2=2,
∴在Rt△BDC中,BC==OC,
∴∠OBC=∠COB=60°,
∴∠ABC=60°+30°=90°,△OBC為等邊三角形,
∴S△AOC=,
∴AC==2,
∴OP=;
(2)如圖2,連接BM,AM,
∵M為OC中點,△OBC為等邊三角形,
∴BM⊥OC,
在Rt△AOB中,∠A=90°,∠ABO=30°,
∴∠BOA=60°,
∵∠BOC=60°,
∴∠BOA=∠BOM,
∵∠BAO=∠BMO=90°,BO=BO,
∴△BAO≌△BMO(ASA),
∴BM=AB,AO=OM,
∴B,O在AM的中垂線上,
∴AM被BD垂直平分,
即M關于直線BO的對稱點為A,
連接AC,當N為AC與BO的交點時,MN+NC最短為AC,此時C△CMN=AC+MC,
∵M是OC的中點,
∴MC=OC=2,
∴C△CMN的最小值為2+2.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點E為射線CB上一動點(不與點C重合),將△CDE沿DE所在直線折疊,點C落在點C′處,連接AC′,當△AC′D為直角三角形時,CE的長為_____.
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【題目】如圖1,點和矩形的邊都在直線上,以點為圓心,以24為半徑作半圓,分別交直線于兩點.已知: ,,矩形自右向左在直線上平移,當點到達點時,矩形停止運動.在平移過程中,設矩形對角線與半圓的交點為 (點為半圓上遠離點的交點).
(1)如圖2,若與半圓相切,求的值;
(2)如圖3,當與半圓有兩個交點時,求線段的取值范圍;
(3)若線段的長為20,直接寫出此時的值.
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【題目】在直角坐標系中,直線l1:y與x軸交于點B1,以OB1為邊長作等邊△A1OB1,過點A1,作A1B2平行于x軸,交直線l于點B2,以A1B2為邊長作等邊△A2A1B2,過點A2作A1B2平行于x軸,交直線l于點B3,以A2B3,為邊長作等邊△A3A2B3…,則等邊△A2019A2018B2019的邊長是______.
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【題目】“校園安全”越來越受到人們的關注,我市某中學對部分學生就校園安全知識的了解程度,采用隨機抽樣調查的方式,并根據收集到的信息進行統(tǒng)計,繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.根據圖中信息回答下列問題:
(1)接受問卷調查的學生共有______人,條形統(tǒng)計圖中m的值為______;
(2)扇形統(tǒng)計圖中“了解很少”部分所對應扇形的圓心角的度數為______;
(3)若該中學共有學生1800人,根據上述調查結果,可以估計出該學校學生中對校園安全知識達到“非常了解”和“基本了解”程度的總人數為______人;
(4)若從對校園安全知識達到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機抽取2人參加校園安全知識競賽,請用列表或畫樹狀圖的方法,求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
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【題目】2017年9月,我國中小學生迎來了新版“教育部統(tǒng)編義務教育語文教科書”,本次“統(tǒng)編本”教材最引人關注的變化之一是強調對傳統(tǒng)文化經典著作的閱讀,某校對A《三國演義》、B《紅樓夢》、C《西游記》、D《水滸》四大名著開展“最受歡迎的傳統(tǒng)文化經典著作”調查,隨機調查了若干名學生(每名學生必選且只能選這四大名著中的一部)并將得到的信息繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖:
(1)本次一共調查了 名學生;
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)某班語文老師想從這四大名著中隨機選取兩部作為學生暑期必讀書籍,請用樹狀圖或列表的方法求恰好選中《三國演義》和《紅樓夢》的概率.
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【題目】如圖,一艘漁船以60海里每小時的速度向正東方向航行.在A處測得燈塔C在北偏東60°方向上;繼續(xù)航行1小時到達B處,此時測得燈塔C在北偏東30°方向上.已知在燈塔C周圍50海里范圍內有暗礁,問這艘漁船繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險?
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【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,BC是⊙O的弦,點P是⊙O外一點,連接PB、AB,∠PBA=∠C.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)連接OP,若OP∥BC,且OP=4,⊙O的半徑為,求BC的長.
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