Question

【題目】已知二次函數(shù)的解析式為y＝－x2＋4x，該二次函數(shù)交x軸于O、B兩點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且橫縱坐標(biāo)相等(原點(diǎn)除外)，P為二次函數(shù)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸垂線，垂足為D(a，0)(a>0)，并與直線OA交于點(diǎn)C.

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上方時(shí)，過(guò)P作x軸的平行線與線段OA相交于點(diǎn)E，求△PCE周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)PC＝CO時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)B (4，0)，A (3，3); （2）△PCE周長(zhǎng)的最大值為4＋2，P (1，3)；（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為(3－，1＋2)或(3＋，1－2).

【解析】

（1）令y=0,得－x2＋4x＝0，解方程即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x中得：x＝－x2＋4x，解方程即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，－x2＋4x)，再求得PC＝－x2＋3x，由等腰三角形的性質(zhì)得，當(dāng)PC取最大值時(shí)，△PCE周長(zhǎng)最大，進(jìn)而求得當(dāng)x＝1時(shí)，PC最大，PC的最大值為－1＋3＝2，從而得出△PCE周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C下方時(shí)分別討論分析.

解：(1)令y＝0，則－x2＋4x＝0，

解得x1＝0，x2＝4.

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(4，0)，

設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(x，x)，把A(x，x)代入y＝－x2＋4x得，

x＝－x2＋4x，

解得x1＝3，x2＝0(舍去)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，3);

（2）如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，－x2＋4x)，

∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(3，3)；

∴∠AOB＝45°，

∴OD＝CD＝x，

∴PC＝PD－CD＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，

∵PE∥x軸，

∴△PCE是等腰直角三角形，

∴當(dāng)PC取最大值時(shí)，△PCE周長(zhǎng)最大．

∵PE與線段OA相交，

∴0≤x≤1，

由PC＝－x2＋3x＝－(x－)2＋可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝，且在對(duì)稱軸左側(cè)PC隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，PC最大，PC的最大值為－1＋3＝2，

∴PE＝2，CE＝2，

∴△PCE的周長(zhǎng)為CP＋PE＋CE＝4＋2，

∴△PCE周長(zhǎng)的最大值為4＋2，

把x＝1代入y＝－x2＋4x，得y＝－1＋4＝3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，3)；

（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，－x2＋4x)，則點(diǎn)C坐標(biāo)為(x，x)，如解圖，

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C上方時(shí)，P1C1＝－x2＋4x－x＝－x2＋3x，OC1＝x，

∵P1C1＝OC1，

∴－x2＋3x＝x，

解得x1＝3－，x2＝0(舍去)．

把x＝3－代入y＝－x2＋4x得，

y＝－(3－)2＋4(3－)＝1＋2，

∴P1(3－，1＋2)，

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C下方時(shí)，P2C2＝x－(－x2＋4x)＝x2－3x，OC2＝x，

∵P2C2＝OC2，

∴x2－3x＝x，

解得x1＝3＋，x2＝0(舍去)，

把x＝3＋代入y＝－x2＋4x，

得y＝－(3＋)2＋4(3＋)＝1－2，

∴P2(3＋，1－2)．

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為(3－，1＋2)或(3＋，1－2)．