【題目】如圖,已知 A、B是線段MN上的兩點,MN4,MA1,MB1.以A為中心順 時針旋轉點M,以B為中心逆時針旋轉點N,使MN 兩點重合成一點C,構成△ABC,設ABx.(1)則x的取值范圍是_________;(2)△ABC的最大面積是_________.

C

【答案】

【解析】

(1)因為所求ABx在△ABC中,所以可利用三角形三邊之間的關系即兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊進行解答.

(2)在△ABC中,AB的值固定不變,即可視為底邊不變,但是因為三角形形狀不固定,

高在發(fā)生變化,所以造成面積不固定,需分情況進行討論.具體分①若點D在線段AB上,②若點D在線段MA上兩種情況.

(1)∵在△ABC中,AC=1,AB=x,BC=3x.

,

解得1<x<2;

(2)在△ABC中,作CD⊥ABD,

CD=h,△ABC的面積為S,S=xh,

①若點D在線段AB上,

+=x,

∴(3x)2h2=x22x+1h2

x=3x4,

∴x2(1h2)=9x224x+16,

x2h2=8x2+24x16.

∴S2=x2h2=2x2+6x4=2(x)2+ (x<2),

x=(滿足x <2)S2取最大值,從而S取最大值;

②若點D在線段MA上,

=x,

同理可,得

S2=x2h2=2x2+6x4

=2(x)2+ (1<x),

易知此時S<,

綜合①②得,△ABC的最大面積為.

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