【題目】已知在△ABC中,AC=BC,AC⊥BC于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線EF∥AB,點(diǎn)D在直線EF上,連接BD,過點(diǎn)D作GD⊥BD,交直線AC于點(diǎn)H,連接BG.

(1)如圖1所示,當(dāng)點(diǎn)D在射線CF上,點(diǎn)H在射線AC上時(shí),連接BH,過點(diǎn)D作MD⊥CD,交CB的延長線于點(diǎn)M. 求證:∠GBH+∠G=∠M;

(2)如圖2所示,當(dāng)點(diǎn)D在射線CE上,點(diǎn)H在射線CA上時(shí),試判斷并證明DH與BD之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1 圖2

【答案】(1)證明見解析; (2)DH=BD.

【解析】分析:(1)如圖1中,作DN⊥EMN,DP⊥ACP.只要證明四邊形PCND是矩形,△DPH≌△DNB,推出DH=BD,推出△BDH是等腰直角三角形,由此即可解決問題;(2)如圖2中,作DN⊥BCN,DP⊥ACP.只要證明四邊形PCND是矩形,△DPH≌△DNB即可;

本題解析:

(1)證明:如圖1,作DN⊥EM于N,DP⊥AC于P.

∵CA=CB, ∠ACB=90°, ∴∠A=∠ABC=45°, ∵EF∥AB, ∴∠DCP=∠A=∠DCB=45°, ∵DN⊥EM于N,DP⊥AC于P, ∴DP=DN, ∵∠PCN=DNC=∠DPC=90°, ∴四邊形PCND是矩形,∴∠PDN=BDH=90°, ∴PDH=BDN, ∴△DPH≌△DNB, ∴DH=BD, ∴△BDH是等腰直角三角形,∴∠BHD=45°, ∵∠BHD=∠GBH+∠G, ∴∠GBH+∠G=45°, ∵DM⊥DC, ∴∠M=∠DCM=45°, ∴∠GBH+∠G=∠M.

(2)如圖2,作DN⊥BC于N,DP⊥AC于P,

∵CA=CB, ∠ACB=90°, ∴∠BCA=∠ABC=45°, ∵EF∥AB, ∴∠DCP=∠BAC=∠DCN=45°, ∵DN⊥EM于N,DP⊥AC于P, ∴DP=DN, ∵∠PCN=∠DNC=∠DPC=90°, ∴四邊形PCND是矩形,∴∠PDN=∠BDH=90°, ∴∠PDH=∠BDN, ∴△DPH≌△DNB, ∴DH=BD.

點(diǎn)睛:本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì).平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),能添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,是解本題的關(guān)鍵.

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A. B. 3 C. 2 D. 2

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【題目】如圖1,在矩形紙片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處,折痕為PQ,過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F,連接BF.

(1)求證:四邊形BFEP為菱形;

(2)當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí),折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng);

①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖2),求菱形BFEP的邊長;

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動(dòng),求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離.

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(1)求證:△CDE≌△DCF;

(2)試判斷CD與EF之間的位置關(guān)系,并說明理由;

(3)求的值.

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A. B.

C. D.

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