【題目】等邊三角形ABC和等腰三角形ABD按如圖所示的位置擺放,∠DAB=90°,AC與BD相交于點(diǎn)E,F(xiàn)為AD上一點(diǎn),連接EF,CF,CF與BD交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H. 已知∠ECF=45°.

(1)求證:△CDE≌△DCF;

(2)試判斷CD與EF之間的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;

(3)求的值.

【答案】(1)證明見解析;(2)EFCD,理由見解析;(3).

【解析】分析:(1)首先證明AC=AD,推出∠ADC=∠ACD,再根據(jù)∠ADB=∠ACF=45°,即可推出∠FCD=∠EDC,由此即可證明;(2)結(jié)論:EF∥CD.只要證明∠AFE=∠ADC即可;(3)設(shè)AB=BC=AC=AD=a,求出DG,BH即可解決問題;

本題解析:

(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,

∴AB=AC,

∵AB=AD,∠DAB=90°,

∴AD=AC,∠ADB=∠ACF=45°,

∴∠ADC=∠ACD,

∴∠FCD=∠EDC,

在△CDE和△DCF中,

,

∴△CDE≌△DCF.

(2)結(jié)論:EF∥CD.

理由:∵△CDE≌△DCF,∴DF=CE,∵AD=AC,∴AF=AE,∴∠AEF=∠AFE,

∵∠ADC=∠ACD,∠EAF+2∠AFE=180°,∠DAC+2∠ADC=180°,

∴∠AFE=∠ADC,∴EF∥CD.

(3)設(shè)AB=BC=AC=AD=a,

∵DG⊥AC,BH⊥AC,

在Rt△ADG中,∠DAG=∠DAB∠CAB=90°60°=30°,

∴DG=AD=a,

在Rt△ABH中,BH=ABsin60°=,

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)如圖1所示,當(dāng)點(diǎn)D在射線CF上,點(diǎn)H在射線AC上時(shí),連接BH,過(guò)點(diǎn)D作MD⊥CD,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M. 求證:∠GBH+∠G=∠M;

(2)如圖2所示,當(dāng)點(diǎn)D在射線CE上,點(diǎn)H在射線CA上時(shí),試判斷并證明DH與BD之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1 圖2

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【題目】【問題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SSS”、“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對(duì)兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的情形進(jìn)行研究.

【初步思考】

我們不妨將問題用符號(hào)語(yǔ)言表示為:在△ABC△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,對(duì)∠B進(jìn)行分類,可分為“∠B是直角、鈍角、銳角三種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】

第一種情況:當(dāng)∠B是直角時(shí),△ABC≌△DEF

如圖,在△ABC△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根據(jù)   ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF

第二種情況:當(dāng)∠B是鈍角時(shí),△ABC≌△DEF

如圖,在△ABC△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是鈍角,請(qǐng)你證明:△ABC≌△DEF(提示:過(guò)點(diǎn)CCG⊥ABAB的延長(zhǎng)線于G,過(guò)點(diǎn)FFH⊥DEDE的延長(zhǎng)線于H).

第三種情況:當(dāng)∠B是銳角時(shí),△ABC△DEF不一定全等.

△ABC△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是銳角,請(qǐng)你利用圖,在圖中用尺規(guī)作出△DEF,使△DEF△ABC不全等.

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