Question

已知關(guān)于x的方程kx²+（2k+1）x+2=0．

（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)拋物線y=kx²+（2k+1）x+2圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)時(shí)，若P（a，y₁），Q（1，y₂）是此拋物線上的兩點(diǎn)，且y₁＞y₂，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）已知拋物線y=kx²+（2k+1）x+2恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

（1）證明：①當(dāng)k=0時(shí)，方程為x+2=0，所以x=﹣2，方程有實(shí)數(shù)根，

②當(dāng)k≠0時(shí)，∵△=（2k+1）²﹣4k×2=（2k﹣1）²≥0，即△≥0，

∴無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：令y=0，則kx²+（2k+1）x+2=0，

解關(guān)于x的一元二次方程，得x₁=﹣2，x₂=﹣，

∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，

∴k=1．

∴該拋物線解析式為y=x²+3x+2，

．

由圖象得到：當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，a＞1或a＜﹣3．

（3）依題意得kx²+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x²+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

則，

解得或．

所以該拋物線恒過定點(diǎn)（0，2）、（﹣2，0）．