【題目】四邊形ABCD 中,AB=3,BC=4,E,F 是對角線 AC上的兩個動點,分別從 A,C 同時出發(fā), 相向而行,速度均為 1cm/s,運動時間為 t 秒,當其中一個動點到達后就停止運動.

1)若 G,H 分別是 AB,DC 中點,求證:四邊形 EGFH 始終是平行四邊形.

2)在(1)條件下,當 t 為何值時,四邊形 EGFH 為矩形.

3)若 G,H 分別是折線 A﹣B﹣CC﹣D﹣A 上的動點,與 E,F 相同的速度同時出發(fā),當 t 為何值時,四邊形 EGFH 為菱形.

【答案】(1)證明見解析;

(2)當 t 為0.5s4.5s時,四邊形 EGFH 為矩形;

(3)ts時,四邊形EGFH為菱形.

【解析】試題分析:(1)由矩形的性質得出AB=CDABCDADBC,∠B=90°,由勾股定理求出AC=5,由SAS證明△AFG≌△CEH,得出GF=HE,同理得出GE=HF,即可得出結論;

(2)先證明四邊形BCHG是平行四邊形,得出GH=BC=4,當對角線EF=GH=4時,平行四邊形EGFH是矩形,分兩種情況:①AE=CF=t,得出EF=5-2t=4,解方程即可;②AE=CF=t,得出EF=5-2(5-t)=4,解方程即可;

(3)連接AG、CH,由菱形的性質得出GHEF,OG=OH,OE=OF,得出OA=OC,AG=AH,證出四邊形AGCH是菱形,得出AG=CG,設AG=CG=x,則BG=4-x,由勾股定理得出方程,解方程求出BG,得出AB+BG=,即可得出t的值.

試題解析:1∵四邊形ABCD是矩形,

AB=CD,ABCD,ADBCB=90°,

AC==5GAF=HCE,

GH分別是AB,DC中點,

AG=BG,CH=DH

AG=CH,

AE=CF

AFGCEH中,

∴△AFG≌△CEHSAS),

GF=HE

同理:GE=HF,

∴四邊形EGFH是平行四邊形.

2由(1)得:BG=CHBGCH,

∴四邊形BCHG是平行四邊形,

GH=BC=4,當EF=GH=4時,平行四邊形EGFH是矩形,分兩種情況:

AE=CF=tEF=5﹣2t=4,解得:t=0.5

AE=CF=t,EF=5﹣25﹣t=4,解得:t=4.5;

綜上所述:當t0.5s4.5s時,四邊形EGFH為矩形.

3)連接AG、CH,如圖所示:

∵四邊形EGFH為菱形,

GHEF,OG=OHOE=OF,

OA=OC,AG=AH,

∴四邊形AGCH是菱形,

AG=CG,

AG=CG=x,則BG=4﹣x,由勾股定理得:AB2+BG2=AG2,32+4﹣x2=x2,

解得:x=

BG=4=,

AB+BG=3+=,

ts時,四邊形EGFH為菱形.

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