【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O,⊙O交BC于點D,交CA的延長線于點E.過點D作DF⊥AC,垂足為F.
(1)求證:DF為⊙O的切線;
(2)若AB=4,∠C=30°,求劣弧的長.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)連接AD、OD,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角,可得∠ADB=90°,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD=CD,再根據(jù)中位線的性質(zhì)求出OD⊥DF,進而根據(jù)切線的判定證明即可;
(2)連接OE,根據(jù)三角形的外角求出∠BAE的度數(shù),然后根據(jù)圓周角定理求出∠BOE的度數(shù),根據(jù)弧長公式求解即可.
(1)連接AD、OD.∵AB是直徑,∴∠ADB=90°.
∵AB=AC,∴BD=CD,
又∵OA=OB,∴OD是△ABC的中位線,∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF
即∠ODF=90°.∴DF為⊙O的切線;
(2)連接OE.∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAE=60°,
∵∠BOE=2∠BAE,∴∠BOE=120°,
∴=·4π=π.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+x+與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D.
(1)求直線BC的解析式;
(2)如圖2,點P為直線BC上方拋物線上一點,連接PB、PC.當(dāng)△PBC的面積最大時,在線段BC上找一點E(不與B、C重合),使PE+BE的值最小,求點P的坐標(biāo)和PE+BE的最小值;
(3)如圖3,點G是線段CB的中點,將拋物線y=﹣x2+x+沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經(jīng)過點D,y′的頂點為F.在拋物線y′的對稱軸上,是否存在一點Q,使得△FGQ為直角三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在等腰中,,,是邊上的中點,點、分別在、邊上運動,且始終保持.連接、、.
(1)求證:;
(2)試證明是等腰直角三角形;
(3)若,,求的長.
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【題目】某校組織一項公益知識競賽,比賽規(guī)定:每個班級由2名男生、2名女生及1名班主任老師組成代表隊.但參賽時,每班只能有3名隊員上場參賽,班主任老師必須參加,另外2名隊員分別在2名男生和2名女生中各隨機抽出1名.初三(1)班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任組成了代表隊,求恰好抽到由男生甲、女生丙和這位班主任一起上場參賽的概率.(請用“畫樹狀圖”或“列表”或“列舉”等方法給出分析過程)
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【題目】作圖題:已知∠MAB=60°,以AB的長為菱形ABCD的邊長,點D在AM上,
(1)作出這個菱形.(保留作圖痕跡,不寫作法,不用證明)
(2)若AB=2,則對角線AC的長為 .
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【題目】為豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)生活,某班組織學(xué)生參觀某愛國主義教育基地,所聯(lián)系的旅行社收費標(biāo)準(zhǔn)如下:
活動結(jié)束后,該班共支付給該旅行社活動費用5600元,該班共有多少人參加這次活動?
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【題目】如圖1,在4×8的網(wǎng)格紙中,每個小正方形的邊長都為1,動點P、Q分別從點D、A同時出發(fā)向右移動,點P的運動速度為每秒1個單位,點Q的運動速度為每秒0.5個單位,當(dāng)點P運動到點C時,兩個點都停止運動,設(shè)運動時間為t(0<t<8).
(1)請在4×8的網(wǎng)格紙圖2中畫出t為6秒時的線段PQ.并求其長度;
(2)當(dāng)t為多少時,△PQB是以PQ為腰的等腰三角形?
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【題目】一種樹苗,栽種時高度約為80厘米,為研究它的生長情況,測得數(shù)據(jù)如下表:
(1)此變化過程中_____是自變量,_____是因變量;
(2)樹苗高度h與栽種的年數(shù)n的關(guān)系式為_____;
(3)栽種后_____后,樹苗能長到280厘米.
栽種以后的年數(shù)n/年 | 高度h/厘米 |
1 | 105 |
2 | 130 |
3 | 155 |
4 | 180 |
… | … |
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【題目】某校九年級開展征文活動,征文主題只能從“愛國”“敬業(yè)”“誠信”“友善”四個主題選擇一個,九年級每名學(xué)生按要求都上交了一份征文,學(xué)校為了解選擇各種征文主題的學(xué)生人數(shù),隨機抽取了部分征文進行了調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)求共抽取了多少名學(xué)生的征文;
(2)將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,選擇“愛國”主題所對應(yīng)的圓心角是多少;
(4)如果該校九年級共有1200名學(xué)生,請估計選擇以“友善”為主題的九年級學(xué)生有多少名.
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